Determine uma função f tal que F = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ F ⋅ d r sobre a curva C dada. F x , y , z = s e ny i ^ + x cos ⁡ y + cos ⁡ z j ^ - ( ys e nz ) k ^ C : r t = s e nti ^ + t j ^ + 2 t k ^ , 0 ≤ t ≤ π / 2

Enunciado

Fala pessoal, beleza? Vamos nessa!!

Nosso foco é em resolver o item (b) nesse exercício.

No item (b), devemos usar o item (a) e calcular a seguinte integral de linha sobre a curva C:

Onde é:

E a curva C é a seguinte parametrização:

Até ai ok, mas e agora? Muita calma, vamos pensar juntos!!!

Nesse tipo de exercício podemos usar o teorema das integrais de linha, que nos diz o seguinte:

Seja uma curva definida por e uma função diferenciável de tal maneira que o gradiente de é contínua em todos os pontos de .

Logo, podemos aplicar:

Vamos lembrar que lá na letra (a), nós encontramos a função:

Também repare que ele nos deu no enunciado uma parametrização, então precisamos substituir na função acima e depois aplicar e . Sendo que:

Agora ficou molezinha ein...é só aplicarmos no teorema das integrais de linha.

Bora fazer isso!!!

Vamos resolver o item (b).

Então pessoal, vamos usar o teorema das integrais de linha:

Lá na letra (a), nós encontramos a função:

Agora vamos reescrever nossa parametrização da seguinte forma:

Como o valor de varia em:

Aplicando em vamos ter:

Portanto, substituindo no teorema:

Agora é só aplicar os pontos em:

Aplicando, temos:

Simplificando, vamos ter como resposta:

(b)