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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 18b

  1. Determine uma função f tal que F = ∇ f e
  2. Use a parte (a) para calcular ∫ F ⋅ d r sobre a curva C dada.

F x , y , z = s e n   y i ^ + x cos ⁡ y + cos ⁡ z j ^ - ( y   s e n   z ) k ^

C : r t = s e n   t   i ^ + t j ^ + 2 t k ^ ,         0 ≤ t ≤ π / 2

Passo 1

Fala pessoal, beleza? Vamos nessa!!

Nosso foco é em resolver o item (b) nesse exercício.

No item (b), devemos usar o item (a) e calcular a seguinte integral de linha sobre a curva C:

∫ F d r

Onde F é:

F x , y , z = s e n   y i ^ + x cos ⁡ y + cos ⁡ z j ^ - ( y   s e n   z ) k ^

E a curva C é a seguinte parametrização:

r t = s e n   t   i ^ + t j ^ + 2 t k ^ ,         0 ≤ t ≤ π / 2

Até ai ok, mas e agora? Muita calma, vamos pensar juntos!!!

Nesse tipo de exercício podemos usar o teorema das integrais de linha, que nos diz o seguinte:

Seja C uma curva definida por r t ,   a ≤ t ≤ b e f uma função diferenciável de tal maneira que o gradiente de f é contínua em todos os pontos de C .

Logo, podemos aplicar:

∫ C a F d r = ∫ a b ∇ f d x = f r b - f r a

Vamos lembrar que lá na letra (a), nós encontramos a função:

f x , y , z = s e n   y + y cos ⁡ z + C

Também repare que ele nos deu no enunciado uma parametrização, então precisamos substituir na função acima e depois aplicar r a e r b . Sendo que:

0 ≤ t ≤ π 2

Agora ficou molezinha ein...é só aplicarmos no teorema das integrais de linha.

Bora fazer isso!!!

Passo 2

Vamos resolver o item (b).

Então pessoal, vamos usar o teorema das integrais de linha:

∫ a b ∇ f d x = f r b - f r a

Lá na letra (a), nós encontramos a função:

f x , y , z = s e n   y + y cos ⁡ z + C

Agora vamos reescrever nossa parametrização r t da seguinte forma:

r t = s e n   t   i ^ + t j ^ + 2 t k ^

r t = ( s e n   t , t , 2 t )

Como o valor de t varia em:

0 ≤ t ≤ π 2

Aplicando em r t vamos ter:

r 0 = s e n   0 , 0 , 2 ( 0 ) = 0,0 , 0

r π / 2 = s e n π 2 , π 2 , 2 π 2 = 1 , π 2 , π

Portanto, substituindo no teorema:

∫ C a F d r = ∫ C a ∇ f d x = f 1 , π 2 , π - f 0,0 , 0

Agora é só aplicar os pontos em:

f x , y , z = s e n   y + y cos ⁡ z + C

Aplicando, temos:

∫ C a F d r = 1 s e n π 2 + π 2 cos ⁡ π + C - 0 + C

∫ C a F d r = 1 + π 2 ( - 1 )

Simplificando, vamos ter como resposta:

∫ C a F d r = 1 - π 2

Resposta

(b) ∫ C a F , d r = 1 - π 2

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