Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 18a
- Determine uma função tal que e
- Use a parte (a) para calcular sobre a curva dada.
Passo 1
Faaaala queridooooos, beleza!? Vamos gabaritar essa!!!
Vamos focar em resolver o item (a).
O item (a) pede para encontrarmos uma função de tal forma que o gradiente dessa função é igual a uma função . Essa relação:
Onde é:
Como fazer isso??? Vou pedir para você ficar bem concentrada e tranquilo, pois não difícil esse processo, mas sim trabalhoso.
Vamos começar um raciocínio.
Vamos lembrar que a gente pode reescrever o termo , da seguinte forma:
Da igualdade acima, concluímos que:
O principal objetivo é encontrar uma expressão para , e para isso precisamos integrar cada lado da igualdade acima.
Mas lembre-se que é uma integral indefinida, logo deve aparecer uma constante em cada integral.
Para ficar mais claro vamos fazer uma como exemplo.
Integrar em relação a . Assim, temos
Integrando, isso nos dá:
Observe que apareceu um termo que é a nossa constante. Pois se derivarmos em relação , vamos voltar a nossa situação inicial.
Esse é o processo, vamos integrando e derivando em relação as variáveis , e para encontrar uma expressão de tal forma, que se aplicarmos as derivadas parciais encontramos novamente a relação:
Repare que é um processo bastante meticuloso, por isso faça com muita calma.
Bora lá!!!
Passo 2
No passo encontramos igual a:
A próxima coisa é derivar a função em relação a . Vamos obter:
Sabemos que:
Assim, comparando com o valor encontrada acima, temos:
Se integrarmos em relação a , temos:
Passo 3
Reescrevendo a equação para a função , temos:
Agora vamos derivá-la em relação a . Vamos ter:
Como temos uma expressão para , vamos comparar as duas:
Novamente, vamos integrar. Portanto integrando a função em relação a , temos:
Agora, reescrevendo a função :
Resposta
(a)