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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.4 - Ex. 1

Nos Exercícios de 1 a 25, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

1 .     ∫ 0 1 d x 1 - x

Passo 1

Perceba que temos integral com descontinuidade infinita em x = 1 . Logo, se a integral converge, então:

∫ 0 1 d x 1 - x = lim t → 1 - ⁡ ∫ 0 t d x 1 - x

Passo 2

Agora vamos achar a integral indefinida para depois resolver a definida.

Faremos a substituição 1 - x = u       →       - d x = d u     →       d x = - d u .

∫ d x 1 - x = ∫ - d u u = - ∫ u - 1 2 d u = - u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C = - 2 1 - x 1 2 + C

Pronto.

Passo 3

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

∫ 0 t d x 1 - x = - 2 1 - x 1 2 0 t = - 2   1 - t 1 2 - 1 - 0 1 2 = - 2   1 - t 1 2 - 1

Passo 4

Agora podemos aplicar o limite e resolver a imprópria.

∫ 0 1 d x 1 - x = lim t → 1 - ⁡ ∫ 0 t d x 1 - x = lim t → 1 - ⁡ - 2   1 - t 1 2 - 1 = 2

∫ 0 1 d x 1 - x = 2

A integral converge para 2 .

Resposta

∫ 0 1 d x 1 - x = 2

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