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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 16

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ - ∞ ∞ 1 16 + x 2   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral imprópria e verificar se ele converge. Neste caso, o limite é infinito nos dois extremos, assim, temos que

∫ - ∞ ∞ 1 16 + x 2   d x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 1 16 + x 2   d x + lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b 1 16 + x 2   d x

Para que a integral seja convergente, os dois limites devem existir!

Precisamos calcular então a primitiva:

I = ∫ 1 16 + x 2   d x

Passo 2

Fazendo x = 4 t , temos que d x = 4   d t :

I = ∫ 1 16 + 16 t 2 ⋅ 4   d t = 1 4 ∫ 1 1 + t 2 d t

Assim,

I = 1 4 arctan ⁡ t = 1 4 arctan ⁡ x 4

Desta forma,

∫ a 0 1 16 + x 2   d x = 1 4 arctan ⁡ x 4 a 0 = - 1 4 arctan ⁡ a 4

∫ 0 b 1 16 + x 2   d x = 1 4 arctan ⁡ x 4 0 b = 1 4 arctan ⁡ b 4

Passo 3

Agora vamos tomar os limites. Primeiro com a → - ∞ :

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 1 16 + x 2   d x = lim a → - ∞ ⁡ - 1 4 arctan ⁡ a 4 = - 1 4 ⋅ - π 2 = π 8

Para b → ∞ :

lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b 1 16 + x 2   d x = lim b → ∞ ⁡ 1 4 arctan ⁡ b 4 = 1 4 ⋅ π 2 = π 8

Portanto, os dois limites existem e são finitos, de modo que a integral converge:

∫ - ∞ ∞ 1 16 + x 2   d x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 1 16 + x 2   d x + lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b 1 16 + x 2   d x = π 8 + π 8 = π 4

Resposta

π 4

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