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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 3

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ - ∞ 0 x   5 - x 2 d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral imprópria e verificar se ele converge. Neste caso, vamos calcular primeiro a integral

I = ∫ t 0 x   5 - x 2   d x

e sem seguida tomar o limite t → - ∞ .

Para calcular essa integral, fazemos a substituição u = - x 2 , assim, temos que d u = - 2 x   d x . A integral será então:

I = - 1 2 ∫ - t 2 0 5 u   d u

Passo 2

Para calcularmos esse primitiva, vamos usar um truque:

y = 5 u ⇒ ln ⁡ y = u ln ⁡ 5 ⇒ y = e u ln ⁡ 5

Portanto,

I = - 1 2 ∫ - t 2 0 e u ln ⁡ 5   d u

Fazendo a integração:

I = - 1 2 1 ln ⁡ 5 e u ln ⁡ 5 - t 2 0 = - 1 2 1 ln ⁡ 5 5 u - t 2 0

Logo,

I = - 1 2 ln ⁡ 5 1 - 5 - t 2

Passo 3

Agora vamos tomar o limite com t → - ∞ :

lim t → - ∞ ⁡ I = - 1 2 ln ⁡ 5 lim t → ∞ ⁡ 1 - 5 - t 2

Quando t → - ∞ , 5 - t 2 → 0 . Assim,

lim t → - ∞ ⁡ I = - 1 2 ln ⁡ 5

Dessa forma a integral converge pois o limite existe!

Resposta

- 1 2 ln ⁡ 5

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