Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
Passo 1
A questão pede para calcularmos a integral imprópria e verificar se ele converge. Neste caso, vamos calcular primeiro a integral
e sem seguida tomar o limite .
Para calcular essa integral, fazemos a substituição , assim, temos que. A integral será então:
Passo 2
Para calcularmos esse primitiva, vamos usar um truque:
Portanto,
Fazendo a integração:
Logo,
Passo 3
Agora vamos tomar o limite com :
Quando , . Assim,
Dessa forma a integral converge pois o limite existe!