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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 12

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ e ∞ 1 x ln ⁡ x   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral imprópria e verificar se ele converge. Neste caso, vamos calcular primeiro a integral

I = ∫ e t 1 x ln ⁡ x   d x

e sem seguida tomar o limite t → ∞ .

Para essa integral, vamos fazer u = ln ⁡ x . Assim

d u = d x x

Portanto,

I = ∫ 1 ln ⁡ t 1 u   d u

Passo 2

Fazendo a integração:

I = ln ⁡ u 1 ln ⁡ t

Portanto,

I = ln ⁡ ln ⁡ t - ln ⁡ 1 = ln ⁡ ln ⁡ t

Passo 3

Tomando o limite para t → ∞ , temos que ln ⁡ t → ∞ . Assim,

ln ⁡ ln ⁡ t → ∞

Desta forma, a integral é divergente pois o limite não é finito.

Resposta

Diverge.

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