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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 32

Nos Exercícios de 19 a 32, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

32 )   ∫ - 3 0 d x 3 - 2 x - x ²  

Passo 1

Para começar, quando temos x = - 3 o denominador assume o valor 0, caracterizando uma indeterminação. Então, podemos usar a igualdade:

∫ - 3 0 d x 3 - 2 x - x ²   = lim a → - 3 ⁡ ∫ a 0 d x 3 - 2 x - x ²  

Se manipularmos a função completando o quadrado:

3 - 2 x - x 2 = - ( x 2 + 2 x - 3 )

Se pensarmos na equação como

x ² + 2 a x + a ² = ( x + a ) ²

Então:

2 a = 2 → a = 1

x ² + 2.1 x + 1 2 = x + 1 ²

- x 2 + 2 x - 3 = - x + 1 2 + 4

= lim a → - 3 ⁡ ∫ a 0 d x 4 - x + 1 2  

Resolvendo por substituição:

u = x + 1

d u = d x

Substituindo:

= lim a → - 3 ⁡ ∫ a 0 d x 2 ² - u 2   = l i m a → - 3 s e n - 1 u 2 0 a = l i m a → - 3 s e n - 1 x + 1 2 0 a = s e n - 1 0 + 1 2 - s e n - 1 a + 1 2 = π 6 + π 2 = 2 π 3

Sendo assim, a integral converge para 2 π 3 .

Resposta

∫ - 3 0 d x 3 - 2 x - x ²   = 2 π 3

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