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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 29

Nos Exercícios de 19 a 32, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

29 )   ∫ - ∞ + ∞ d x 4 x ² + 4 x + 5  

Passo 1

Para começar, quando temos um extremo superior e inferior infinito, podemos usar a igualdade:

∫ - ∞ + ∞ d x 4 x ² + 4 x + 5   = lim a → - ∞ ⁡ ∫ - ∞ 0 d x 4 x ² + 4 x + 5   + lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b d x 4 x ² + 4 x + 5  

Se manipularmos a função completando o quadrado:

4 x ² + 4 x + 5 = 4 x ² + x + 5 4

Se pensarmos na equação como

x ² + 2 a x + a ² = ( x + a ) ²

Então:

2 a = 1 → a = 1 2

x ² + 2 1 2 x + 1 2 2 = x + 1 2 ²

4 x ² + 4 x + 5 = 4 x + 1 2 ² + 4

= lim a → - ∞ ⁡ ∫ - ∞ 0 d x 4 x + 1 2 ² + 4   + lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b d x 4 x + 1 2 ² + 4  

Resolvendo por substituição:

u = x + 1 2

d u = d x

Substituindo:

= lim a → - ∞ ⁡ ∫ - ∞ 0 d x 4 u ² + 4   + lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b d x 4 u ² + 4   = 1 4 lim a → - ∞ ⁡ ∫ - ∞ 0 d x u 2 + 1   + lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b d x u 2 + 1   = 1 4 l i m a → - ∞ t g - 1 ( x + 1 2 ) 0 a + lim b → + ∞ ⁡ t g - 1 ( x + 1 2 ) b 0 = 1 4 t g - 1 1 2 - t g - 1 a + 1 2 + t g - 1 b + 1 2 - t g - 1 1 2 = 1 4 π 2 + π 2 = π 4

Sendo assim, a integral converge para π 4 .

Resposta

∫ - ∞ + ∞ d x 4 x ² + 4 x + 5   = π 4

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