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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 11

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ 3 ∞ 3 x 2 + 9   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral imprópria e verificar se ele converge. Neste caso, vamos calcular primeiro a integral

I = ∫ 3 t 3 x 2 + 9   d x

e sem seguida tomar o limite t → ∞ .

Para essa integral, vamos fazer x = 3 y , assim d x = 3   d y :

I = ∫ 3 / 3 t / 3 3 9 ( y 2 + 1 ) ⋅ 3   d y = ∫ 3 / 3 t / 3 1 1 + y 2   d y

Passo 2

Fazendo a integração:

I = arctan ⁡ y 3 / 3 t / 3

Assim,

I = arctan ⁡ t 3 - arctan ⁡ 3 3 = arctan ⁡ t 3 - π 6

Passo 3

Tomando o limite para t → ∞ , temos que

lim t → ∞ ⁡ arctan ⁡ t 3 = arctan ⁡ " ∞ " = π 2

Assim, a integral será convergente e

∫ 3 ∞ 3 x 2 + 9   d x = π 2 - π 6 = 2 π 6 = π 3

Resposta

π 3

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