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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 49

Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência.

∫ 2 ∞ d v v - 1

Passo 1

Vamos resolver essa pelo método da comparação do limite.

O método diz que se temos duas funções f ( x ) e g ( x ) e o limite da função f x g ( x ) for um número finito, então as funções f ( x ) e g ( x ) se comportam da mesma maneira, ou seja, ambas convergem ou ambas divergem.

Parece complicado, mas na prática é bem simples. Veja só...

Passo 2

Seja f x =   1 v - 1 (a função da integral) e g x = 1 v . Então, iremos calcular:

lim v → ∞ ⁡ f x g x = l i m v → ∞ 1 v - 1 1 v   = l i m v → ∞   v v - 1 =   l i m v → ∞ v v - 1 v v =   l i m v → ∞ v v 2 - v =   l i m v → ∞ v v 2 1 - 1 v =   l i m v → ∞ v v 1 - 1 v = l i m v → ∞ 1 1 - 1 v =   1  

Como o limite deu finito, as duas funções se comportam da mesma maneira.

Vamos ver na g ( x ) então...

Passo 3

∫ 2 ∞ 1 v d v

Bom, sempre que temos uma integral do tipo ∫ a ∞ 1 x p   d x se p > 1 a integral converge, e se     p ≤ 1 , a integral diverge.

Então, a nossa que é ∫ 2 ∞ 1 v d x diverge não é mesmo? ( v = v 1 2 → 1 2 < 1 )

Então, se ela diverge, a outra também diverge.

A integral   ∫ 2 ∞ d v v - 1 diverge.

Resposta

∫ 2 ∞ d v v - 1 diverge.

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