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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.1 - Ex. 39

Ache o valor exato da quantidade dada.

cos (a r c s e n (1)/(3) - arctan (1)/(2))

Passo 1

A questão pede para calcularmos o valor das expressões. Usaremos a fórmula do cosseno da diferença:

cos (a - b) = cos a cos b + s e n a s e n b

Assim,

cos (a r c s e n (1)/(3) - arctan (1)/(2)) = cos a cos b + s e n a s e n b ,

com a = a r c s e n (1)/(3) e b = arctan (1)/(2) . Assim,

s e n a = (1)/(3) e tan b = (1)/(2)

Note que tanto a quanto b estão no primeiro quadrante.

Passo 2

Para achar cos a :

(1)/(9) + cos^2 a = 1 => cos a = (2 sqrt(2))/(3)

Já para b :

(s e n b)/(cos b) = (1)/(2) => cos b = 2 s e n b

Assim,

4 s e n^2 b + s e n^2 b = 1 => s e n b = (1)/(sqrt(5)) => cos b = (2)/(sqrt(5))

Passo 3

Desta forma, como

cos (a r c s e n (1)/(3) - arctan (1)/(2)) = cos a cos b + s e n a s e n b

Vamos ter que

cos (a r c s e n (1)/(3) - arctan (1)/(2)) = (2 sqrt(2))/(3) * (2)/(sqrt(5)) + (1)/(3) * (1)/(sqrt(5)) = (1 + 4 sqrt(2))/(3 sqrt(5))

Resposta

(1 + 4 sqrt(2))/(3 sqrt(5))

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