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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 1n

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).

f x = x 3 - x 2 + 1 x

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom? Nessa questão primeiro vamos ter que achar f ' x e depois analisar seu sinal.

Vamos começar derivando a nossa função aplicando a regra do quociente.

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Lembrando que,

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

Vamos então aplicar:

f ' x = x 3 - x 2 + 1 x ' = x 3 - x 2 + 1 ' x - x 3 - x 2 + 1 x ' x 2

Derivando,

f ' x = 3 x 2 - 2 x x - x 3 - x 2 + 1 x 0 x 2 =

Ajeitando,

f ' x = 3 x 3 - 2 x 2 - x 3 + x 2 - 1 x 2 = 2 x 3 - x 2 - 1 x 2

Agora vamos estudar os sinais!

Passo 2

Repara que o denominador vai ser sempre positivo (pois é um termo ao quadrado), vamos então analisar o numerador igualando ele a zero:

2 x 3 - x 2 - 1 = x - 1 2 x 2 + x + 1 = 0

Vamos analisar o sinal das duas expressões:

Para x - 1 temos:

A expressão assume valores negativos quando x < 1 e assume valores positivos quando x > 1 .

Para 2 x 2 + x + 1 a expressão assume valores sempre positivos, pois 2 x 2 vai ser sempre positivo, e sempre maior que x .

Passo 3

Vamos lá, agora vamos analisar a imagem que achamos no passo anterior:

Temos que f ' x > 0 em:

1 , + ∞

Ou seja, f é estritamente crescente em 1 , + ∞

E em f ' x < 0 temos um ponto de descontinuidade em 0 , assim:

- ∞ , 0 e 0,1

Ou seja, f é estritamente decrescente em - ∞ , 0 e 0,1

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x 3 - x 2 + 1 x = ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 3 - x 2 + 1 x = ∞

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

f é estritamente crescente em 1 , + ∞

f é estritamente decrescente em - ∞ , 0 e 0,1

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