Seja f(x) = (1 - x)^2 * (1 + x)^3 . Faça o seguinte:

  1. Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
  2. Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
  3. Determine os intervalos nos quais f é crescente;
  4. Determine os intervalos nos quais f é decrescente;
  5. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Observe que f é uma função de polinomial, logo é contínua e derivável para todo x real. Assim, pelas regras de derivação:

f ' x = - 2 ( 1 - x ) 1 + x 3 + 3 1 - x 2 1 + x 2 ⇒

f ' x = 1 - x 1 + x 2 [ - 2 1 + x + 3 1 - x ] ⇒

f ' x = 1 - x 1 + x 2 - 2 - 2 x + 3 - 3 x ⇒

f ' x = 1 - x 1 + x 2 1 - 5 x ⇒

f ' x = ( 1 - x ) 1 + x 2 ( 1 - 5 x )

Como f ' ( x ) existe para todos valores de x , os pontos críticos de f ocorrem quando f ' x = 0 . Assim:

f ' x = 0 ⇒

( 1 - x ) 1 + x 2 ( 1 - 5 x ) = 0

Logo:

1 - x = 0 ⇒

x = 1  

Ou:

1 + x 2 = 0 ⇒

1 + x = 0 ⇒

x = - 1

Ou:

1 - 5 x = 0 ⇒

5 x = 1 ⇒

x = 1 5

Portanto os pontos críticos existentes em f ocorrem quando x = - 1 , x = 1 5 e x = 1 .

Passo 2

Para determinar se f tem um extremo relativo em x = - 1 , em x = 1 5 e em x = 1   devemos aplicar o teste da primeira derivada. Assim:

→ x < - 1 :

f ' x > 0 e f é crescente.

→ - 1 < x < 1 5

f ' x > 0 e f é crescente.

→ 1 5 < x < 1

f ' x < 0 e f é decrescente.

→ x > 1 :

f ' x > 0 e f é crescente.

Logo, pelo teste da primeira derivada, em x = 1 temos um ponto de mínimo relativo e em x = 1 5 temos um ponto de máximo relativo de f .

Passo 3

Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de f x = 1 - x 2 1 + x 3 . O gráfico é dado por:

Resposta

Portanto, f x = 1 - x 2 1 + x 3 é crescente nos intervalos - ∞ , 1 5 e ( 1 , + ∞ ) , decrescente no intervalo ( 1 5 , 1 ) , admite máximo relativo em x = 1 5 e admite mínimo relativo em x = 1 .

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