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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 6c

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (para isto, calcule todos os limites necessários).

g x = x 2 ln ⁡ x

Passo 1

Primeiro vamos ter que achar g ' x e analisar seu sinal, vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra do polinômio, da função logarítmica natural e da divisão:

x n ' = n x n - 1

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

f x h x ' = f ' x h x - f x h ' x h x 2

Vamos então aplicar:

g ' x = x 2 ln ⁡ x ' = x ' 2 ln ⁡ x - x 2 ln ⁡ x ' 2 ln ⁡ x 2 = 1 2 ln ⁡ x - x 2 x 2 ln ⁡ x 2 = 2 ln ⁡ x - 2 2 ln ⁡ x 2 = 2 ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ x 2

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de g ' x , o denominador vai ser sempre positivo, vamos então analisar o numerador igualando-o a zero:

ln ⁡ x - 1 = 0 → ln ⁡ x = 1 → x = e

Vamos analisar o sinal da expressão:

Temos que g ' x > 0 , vamos ter que dois pontos de descontinuidade em 0 e em 1 devido ao denominador, assim:

e , + ∞

E em g ' x < 0 :

0,1 e 1 , e

Assim:

g é estritamente crescente em e , + ∞

g é estritamente decrescente em 0,1 e 1 , e

Passo 3

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de g para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x 2 ln ⁡ x = ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 2 ln ⁡ x = - ∞

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

g é estritamente crescente em e , + ∞

g é estritamente decrescente em 0,1 e 1 , e

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Qual das seguintes funções cresce mais rapidamente do que e x quando x → ∞ ? Qual cresce à mesma taxa que e x ? E qual cresce mais lentamente? x - 3 x 3 + sin 2 ⁡ x x 4 x 3 2 x e x 2 e x 2 log 10 ⁡ x
Verdadeiro ou falso? Quando x → ∞ . 1 x + 3 = O 1 x 1 x + 1 x 2 = O 1 x 1 x - 1 x 2 = o1 x 2 + cos ⁡ x = O( 2 ) e x + x =O ( e x ) x ln ⁡ x = o ( x 2 ) ln ⁡ ( ln ⁡ x) = O ( ln ⁡ x ) ln ⁡ x = o ( ln ⁡
Qual das seguintes funções cresce mais rapidamente do que ln ⁡ x quando x → ∞ ? Qual cresce à mesma taxa que ln ⁡ x ? E qual cresce mais lentamente? log 2 ⁡ x 2 log 10 ⁡ 10 x 1 x 1 / x 2 x - 2 ln ⁡ x
Qual das seguintes funções cresce mais rapidamente do que x 2 quando x → ∞ ? Qual cresce à mesma taxa que x 2 ? E qual cresce mais lentamente? x 2 + 4 x x 5 - x 2 x 4 + x 3 x + 3 2 x ln ⁡ x 2 x x 3 e
Qual das seguintes funções cresce mais rapidamente do que e x quando x → ∞ ? Qual cresce à mesma taxa que e x ? E qual cresce mais lentamente? 10 x 4 + 30 x + 1 x ln ⁡ x_ x 1 + x 4 5 2 x e - x x e - x