Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (para isto, calcule todos os limites necessários).

g(x) = x / (2 * ln(x))

Passo 1

Primeiro vamos ter que achar g ' x e analisar seu sinal, vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra do polinômio, da função logarítmica natural e da divisão:

x n ' = n x n - 1

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

f x h x ' = f ' x h x - f x h ' x h x 2

Vamos então aplicar:

g ' x = x 2 ln ⁡ x ' = x ' 2 ln ⁡ x - x 2 ln ⁡ x ' 2 ln ⁡ x 2 = 1 2 ln ⁡ x - x 2 x 2 ln ⁡ x 2 = 2 ln ⁡ x - 2 2 ln ⁡ x 2 = 2 ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ x 2

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de g ' x , o denominador vai ser sempre positivo, vamos então analisar o numerador igualando-o a zero:

ln ⁡ x - 1 = 0 → ln ⁡ x = 1 → x = e

Vamos analisar o sinal da expressão:

Temos que g ' x > 0 , vamos ter que dois pontos de descontinuidade em 0 e em 1 devido ao denominador, assim:

e , + ∞

E em g ' x < 0 :

0,1 e 1 , e

Assim:

g é estritamente crescente em e , + ∞

g é estritamente decrescente em 0,1 e 1 , e

Passo 3

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de g para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x 2 ln ⁡ x = ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 2 ln ⁡ x = - ∞

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

g é estritamente crescente em e , + ∞

g é estritamente decrescente em 0,1 e 1 , e

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