Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 12
Seja . Faça o seguinte:
- Ache os extremos relativos de pelo teste da derivada primeira;
- Determine os valores de nos quais os extremos relativos ocorrem;
- Determine os intervalos nos quais é crescente;
- Determine os intervalos nos quais é decrescente;
- Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Observe que é uma função polinomial, logo é contínua e derivável para todo real. Assim, pelas regras de derivação:
Como existe para todos valores de , os pontos críticos de ocorrem quando . Assim:
Agora, tomando como outra variável, por exemplo, teremos e assim:
Dividindo todos os termos por temos:
Logo:
ou
Agora devemos lembrar que , isto é, e que estamos procurando os valores de , portanto:
ou
Como não existe raiz quadrada de números negativos, não há a possibilidade de pontos críticos de quando , assim os pontos críticos de ocorrem quando e quando .
Passo 2
Para determinar se tem um extremo relativo em e em devemos aplicar o teste da primeira derivada. Assim:
:
e é crescente.
:
e é decrescente.
:
e é crescente.
Logo, pelo teste da primeira derivada, em temos um ponto de máximo relativo e em temos pontos de mínimo relativo de .
Passo 3
Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de . O gráfico é dado por:
Resposta
Portanto, é decrescente no intervalo , crescente nos intervalos e , admite mínimo relativo em e máximo relativo em .