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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 33

Calcule a integral   ∫ x . ( ln ⁡ x ) 2 d x   . Algumas integrais não requerem integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral e afirma que nem todas as integrais são calculadas por meio de integração por partes. Porém, nessa utilizaremos a integração por partes, no caso em que ha repetições de integração por partes utilizamos uma maneira mais organizada e que facilita os cálculos, que é a integração tabular.

Passo 2

Para poder resolver   ∫ x . ( ln ⁡ x ) 2 d x   utilizamos, inicialmente, o método da substituição:

u   = l n   x     logo x = e u

d u   =   ( ln ⁡ x ) ’ d x

d u   =   1 x   d x

d x = x   d u

d x = e u   d u

∫ x . ( ln ⁡ x ) 2 d x     =   ∫ e u . u 2 e u   d u

=   ∫ e 2 u . u 2   d u

Passo 3

Separamos ∫ e 2 u . u 2   d u em f(x) = u 2 e g(x) = e 2 u ,e seguida montamos a tabela:

f(X) e suas derivadas g(x) e suas integrais

Observe que para integrar g(x) foi utilizada a fórmula : ∫ e a x   d x =   1 a .   e a x

Passo 4

Depois multiplicamos as funções ligadas e combinamos elas de acordo com os sinais das operações indicadas.

∫ e 2 u . u 2   d u       = u 2 . 1 2 .   e 2 u - 2 . u . 1 4 .   e 2 u + 2 . 1 8 . e 2 u

=   e 2 u 1 2 . u 2 - 2 . u . 1 4 + 2 . 1 8

=   e 2 u 1 2 . u 2 - u . 1 2 + 1 4

=   1 4 . e 2 u 2 . u 2 - 2 . u + 1

Agora vamos substituir u   = l n   x     e x = e u

=   1 4 . e 2 u 2 . u 2 - 2 . u + 1

=     1 4 . x 2 . 2 . ( l n   x ) 2 -   1 4 . x 2 . 2 . l n   x +   1 4 . x 2 . 1

= ( x . l n   x ) 2 2 -   x 2 . l n   x 2 +   x 2 4 + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ x . ( ln ⁡ x ) 2 d x = ( x . l n   x ) 2 2 -   x 2 . l n   x 2 +   x 2 4 + c

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