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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.6 - Ex. 29

Encontre o limite ou demonstre que ele não existe:

lim x → ∞ ⁡ ( x 2 + a x - x 2 + b x )

Passo 1

Bom galera, pra esse problema a gente já tem que saber uma coisinha sobre limite tendendo a infinito que é:

lim x → ∓ ∞ ⁡ a x b = 0

E tem outro caso também:

lim x → ∓ ∞ ⁡ x a b = ∞

Além de aprender os produtos notáveis que ajudam muito em limites.

Passo 2

Vamos começar ajustando a função dentro do limite usando tipo um produto notável:

lim x → ∞ ⁡ ( x 2 + a x - x 2 + b x ) ⋅ ( x 2 + a x + x 2 + b x ) ( x 2 + a x + x 2 + b x ) → lim x → ∞ ⁡ x 2 + a x - x 2 + b x ( x 2 + a x + x 2 + b x )

→ lim x → ∞ ⁡ x 2 + a x - x 2 - b x   x 2 + a x + x 2 + b x

Passo 3

Beleza, em uma multiplicação eu posso pegar a raiz de uma parte e deixar a outra, isso não pode na soma, mas pra isso a gente coloca em evidência os termos de maior grau, então:

lim x → ∞ ⁡ x 2 + a x - x 2 - b x   x 2 + a x + x 2 + b x → lim x → ∞ ⁡ x 2 1 + a x - 1 - b x x 2 1 + a x + x 2 1 + b x

→ lim x → ∞ ⁡ x 2 a - b x x 1 + a x + 1 + b x → lim x → ∞ ⁡ x a - b x 1 + a x + 1 + b x

Passo 4

Pronto, agora a gente elimina x encima e embaixo:

lim x → ∞ ⁡ x a - b x 1 + a x + 1 + b x → lim x → ∞ ⁡ a - b 1 + a x + 1 + b x

Agora aplicamos o limite dentro da soma da raiz em um caso parecido com o do passo 1:

lim x → ∞ ⁡ a - b 1 + a x + 1 + b x → lim x → ∞ ⁡ a - b 1 + 0 + 1 + 0

→ lim x → ∞ ⁡ a - b 2

Passo 5

Calma, agora a gente só precisa aplicar o limite e pronto:

lim x → ∞ ⁡ a - b 2 = a - b 2

Resposta

lim x → ∞ ⁡ ( x 2 + a x - x 2 + b x ) = a - b 2

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