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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.6 - Ex. 27

Encontre o limite ou demonstre que ele não existe:

lim x → ∞ ⁡ ( 9 x 2 + x - 3 x )

Passo 1

Bom galera, nesse exercício estamos interessados encontrar o limite de:

lim x → ∞ ⁡ 9 x 2 + x - 3 x

Pra esse problema a gente já tem que saber uma coisinha sobre limite tendendo a infinito que é:

lim x → ∓ ∞ ⁡ a x b = 0

E tem outro caso também:

lim x → ∓ ∞ ⁡ x a b = ∞

Além de aprender os produtos notáveis que ajudam muito em limites.

Passo 2

Vamos começar ajustando a função dentro do limite usando tipo um produto notável que é a multiplicação pelo conjugado:

lim x → ∞ ⁡ ( 9 x 2 + x - 3 x ) × ( 9 x 2 + x + 3 x ) ( 9 x 2 + x + 3 x ) → lim x → ∞ ⁡ 9 x 2 + x - 9 x 2 9 x 2 + x + 3 x

Beleza, em uma multiplicação eu posso pegar a raiz de uma parte e deixar a outra, isso não pode na soma, mas pra isso a gente coloca em evidência os termos de maior grau, então:

lim x → ∞ ⁡ 9 x 2 + x - 9 x 2 9 x 2 + x + 3 x → lim x → ∞ ⁡ x 2 ( 9 + x x 2 - 9 ) x 2 9 + x x 2 + 3 x

→ lim x → ∞ ⁡ x 2 x x 2 x 9 + 1 x + 3 x → lim x → ∞ ⁡ x x 9 + 1 x + 3

Passo 3

Pronto, agora a gente elimina x em cima e embaixo:

lim x → ∞ ⁡ x x 9 + 1 x + 3 → lim x → ∞ ⁡ 1 9 + 1 x + 3

Agora aplicamos o limite dentro da soma da raiz em um caso parecido com o do passo 1:

lim x → ∞ ⁡ 1 9 + 1 x + 3 → lim x → ∞ ⁡ 1 9 + 0 + 3

→ lim x → ∞ ⁡ 1 9 + 3 → lim x → ∞ ⁡ 1 3 + 3

Agora a gente só precisa aplicar o limite e pronto:

lim x → ∞ ⁡ 1 3 + 3 = 1 6

Resposta

lim x → ∞ ⁡ ( 9 x 2 + x - 3 x ) = 1 6

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