Enunciado

Determine o limite ou explique por que ele não existe.

lim x → 0 ⁡ t g ( 2 x ) t g ( π x )

Passo 1

Para calcular o limite, devemos notar que uma simples substituição de x por 0 resultará em uma indeterminação com 0 no denominador da fração. Por isso, devemos desenvolver trigonometricamente.

Passo 2

Sabendo que t g   ( a )   =   s e n   ( a ) c o s   ( a )

lim x → 0 ⁡ t g ( 2 x ) t g ( π x )   =   lim x → 0 ⁡ s e n ( 2 x ) c o s ( 2 x ) ∙ c o s ( π x ) s e n ( π x )    

lim x → 0 ⁡ s e n ( 2 x ) c o s ( 2 x ) ∙ c o s ( π x ) s e n ( π x )    

Passo 3

Conhecendo os limites fundamentais:

lim x → 0   ⁡ s e n ( x ) x =   l i m x → 0     x s e n ( x )   =   1  

Podemos manipular a expressão parar obter limites fundamentais

lim x → 0 ⁡ s e n ( 2 x ) c o s ( 2 x ) ∙ c o s ( π x ) s e n ( π x )   ∙   2 x 2 x ∙   π x π x  

lim x → 0 ⁡ s e n ( 2 x ) 2 x ∙ π x s e n ( π x )   ∙   2 x π x ∙   c o s ( π x ) c o s ( 2 x )  

Passo 4

Aplicando a propriedade do produto para limites:

lim x → 0 ⁡ s e n ( 2 x ) 2 x   ∙   l i m x → 0   π x s e n ( π x )   ∙   l i m x → 0   2 x π x   ∙   l i m x → 0   c o s ( π x ) c o s ( 2 x )  

Aplicando o limite fundamental:

1 ⁡ ∙   1   ∙   l i m x → 0   2 x π x   ∙   l i m x → 0   c o s ( π x ) c o s ( 2 x )  

1 ⁡ ∙   1   ∙   l i m x → 0   2 π   ∙   l i m x → 0   c o s ( π x ) c o s ( 2 x )  

1 ⁡ ∙   1   ∙     2 π   ∙   c o s ( 0 ) c o s ( 0 )  

1 ⁡ ∙   1   ∙     2 π   ∙   1 1     =   2 π

Resposta

lim x → 0 ⁡ t g ( 2 x ) t g ( π x )   =   2 π

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