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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.Exercícios Práticos - Ex. 10a

Determine o limite ou explique porque ele não existe lim x → 0 ⁡ x 2 + x x 5 + 2 x + x 3  

Passo 1

Observando o limite, dá pra perceber que vamos precisar de algumas regrinhas, então vamos já relembrando antes de iniciar, blz ?

Partiu ?

Para começar, vamos simplificar nossas contas, ou seja, vamos colocar x   em evidência no numerador e no x 3 denominador e então nossas contas ficam

lim x → 0 ⁡ x 2 + x x 5 + 2 x + x 3 =     l i m x → 0 x x + 1 x 3 ( x 2 + 2 x + 1 )  

Podemos cancelar termos em comum, deixando nossa conta da seguinte forma:

  ⁡     l i m x → 0 x x + 1 x 3 ( x 2 + 2 x + 1 )   =     l i m x → 0 x + 1 x 2 x + 1 x + 1 = l i m x → 0 1 x 2 x + 1 = 1 0

Passo 2

Nesse caso, o limite explode. Mas precisamos analisar se ∞ ou - ∞ .   Para isso, vamos olhar os limites laterais na penúltima igualdade somente, pra não precisar repetir as contas. Blz?

  • À esquerda de zero, temos

    • l i m x → 0 -   1 x 2 x + 1 = 1 0 ( 0 + 1 )

    Nesse caso estamos com números negativos, para valores próximos a zero negativos, o denominador é positivo, ou seja

    1 p o s i t i v o = p o s i t i v o p o s i t i v o = p o s i t i v o

    Então , l i m x → 0 -   1 x 2 x + 1 = ∞

  • À direita de zero, estamos com números positivos, então o denominador é positivo, então

1 p o s i t i v o   = p o s i t i v o p o s i t i v o   = p o s i t i v o

Isso nos diz que

l i m x → 0 +   1 x 2 x + 1 = ∞

Sendo assim, lim x → 0 ⁡ x 2 + x x 5 + 2 x + x 3 = ∞   tal que x ≠ 0   e   x ≠ - 1 .

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 2 + x x 5 + 2 x + x 3 = ∞   tal que x ≠ 0   e   x ≠ - 1

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Prove que o teorema 2.4 . 6 :Se lim x → a ⁡ f x = - ∞ e lim x → a ⁡ g x = c , onde c é uma constante não-nula, então i se c0 , lim x → a ⁡ f x ∙ g x = - ∞ i i se c0 , lim x → a ⁡ f x ∙ g x = + ∞
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Prove que o teorema 2.4 . 4 i i :Se a for um número real qualquer e se lim x → a ⁡ f x = 0 e lim x → a ⁡ g x = c , onde c é uma constante não nula, entãoSe c0 e se f x → 0 por valores negativos de f x
lim x → - 2 ⁡ 8 3 x + 2