Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 47
Prove que o teorema :
Se for um número real qualquer e se e , onde é uma constante não nula, então
Se e se por valores positivos de ,
Passo 1
Temos que mostrar que:
Para todo existe tal que:
Para isso temos que lembrar a definição formal de limite:
Quando:
Dado qualquer, existe um tal que
Mo coisa dois né? Mas vamos com calma que vamos entender isso. Ele disse que para qualquer positivo, vai existir outro número, o , que todo número que estiver a uma distância menor que de vai ter o seu valor na função a um distância menor de do limite .
Passo 2
Ele deu dois limites:
Assim, vamos ter
Dado qualquer, existe um e tal que
Vamos pegar a parte com as funções:
Ele disse que se aproxima de por valores positivos de , então:
Teremos:
Vamos abrir o módulo da outra função
Passo 3
Agora, vamos tentar achar o
Invertendo os termos nessa segunda inequação:
Antes de multiplicarmos por , devemos garantir que seja negativo para mudar o sinal da inequação. Como o pode ser qualquer valor já que é um dado que o limite exite, vamos pegar
Como é negativo, ao multiplicarmos a inequação do pela inequação com ela ira mudar de sinal.
Basta pegarmos
Que é menor que porque o é menor que
Passo 4
Agora vamos juntar tudo:
Dado qualquer, existe um e tal que
Chegamos em:
Para juntar as duas inequações de e , pegamos o menor valor dos dois, porque assim isso vai garantir as duas inequações.
Assim:
Tomando
Temos uma relação direta, então para todo menor que , garantimos que
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)