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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 65

Calcule a integral abaixo:

int (1)/(2 + (x - 1)^2) d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int (1)/(2 + (x - 1)^2) d x u = x - 1 d u = d x

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

int [[(1)/(2 + u^2)],[]] d u

Passo 3

Aplicamos mais uma substituição, agora com o intuito de colocar o 2 em evidência para chegarmos na primitiva trigonométrica tg-1 . Assim:

u = sqrt(2) v d u = sqrt(2) d v => (d u)/(sqrt(2)) = d v

(1)/(√ 2) int (1)/(2 + (sqrt(2) v)^2) d v = (1)/(√ 2) int (1)/(2 (1 + v^2)) d v

Passo 4

Retirando a constante e integrando, temos:

(1)/(2 sqrt(2)) int (1)/(1 + v^2) d v = (1)/(2 sqrt(2)) t g^(- 1) (v) + C

Passo 5

Substituindo v e u pelas funções que substituímos respectivamente, temos:

v = (u)/(sqrt(2)) => (1)/(2 sqrt(2)) t g^(- 1) ((u)/(sqrt(2))) + C

u = x - 1 => (1)/(2 sqrt(2)) t g^(- 1) ((x - 1)/(sqrt(2))) + C

Resposta

(1)/(2 sqrt(2)) t g^(- 1) ((x - 1)/(sqrt(2))) + C

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