Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 50
Prove que o teorema :
Se e , onde é uma constante não-nula, então
se ,
se ,
Passo 1
Parte :
Temos que mostrar que:
Para todo existe tal que:
Para isso temos que lembrar a definição formal de limite:
Quando:
Dado qualquer, existe um tal que
Mo coisa dois né? Mas vamos com calma que vamos entender isso. Ele disse que para qualquer positivo, vai existir outro número, o , que todo número que estiver a uma distância menor que de vai ter o seu valor na função a um distância menor de do limite .
Passo 2
Ele deu dois limites:
Assim, vamos ter
Dado qualquer, existe um e tal que
E
Dado qualquer, existe um tal que
Vamos pegar a parte com as funções:
Vamos abrir o módulo da outra função
Passo 3
Agora, vamos tentar achar o
Como , teremos , então temos que fazer aquela subtração ser positiva, para isso, basta pegarmos:
Teremos
Basta pegarmos
Que é maior que
Passo 4
Agora vamos juntar tudo:
Dado e , qualquer, existe um e tal que
Tomando
Chegamos em:
Para juntar as duas inequações de e , pegamos o menor valor dos dois, porque assim isso vai garantir as duas inequações.
Assim:
Tomando
Temos uma relação direta, então para todo maior que , garantimos que
Passo 5
Parte :
Temos que mostrar que:
Para todo existe tal que:
Ele deu dois limites:
Assim, vamos ter
Dado qualquer, existe um e tal que
E
Dado qualquer, existe um tal que
Vamos pegar a parte com as funções:
Vamos abrir o módulo da outra função
Passo 6
Agora, vamos tentar achar o
Tomando
Como , tudo ali é negativo. Vamos pegar
Quando multiplicarmos com a inequação de ela ira mudar de sinal por serem negativos.
Teremos
Se aquele temo do lado direito por positivo, basta tomarmos como ele.
Passo 7
Agora vamos juntar tudo:
Dado e , qualquer, existe um e tal que
Tomando
Chegamos em:
Para juntar as duas inequações de e , pegamos o menor valor dos dois, porque assim isso vai garantir as duas inequações.
Assim:
Temos uma relação direta, então para todo menor que , garantimos que
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)