Determine o limite infinito.

lim x → 2 π - ⁡ x   c o s s e c   x

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá o seguinte limite:

lim x → 2 π - ⁡ x   c o s s e c   x

Primeiramente, vamos reescrever o limite sabendo que c o s s e c   x = 1 sin ⁡ x :

lim x → 2 π - ⁡ x   c o s s e c   x = lim x → 2 π - ⁡ x s i n ⁡ x

Ainda de acordo com o enunciado, o resultado desse limite é um número que tende ao infinito.

Mas qual infinito? Positivo ou negativo??

Para descobrirmos isso, teremos que estudar bem o nosso limite.

Como assim??

Bom... basicamente vamos ver o que acontece com o sinal do numerador e do denominador quando x → π - (quando x tende a π pelos números menores que ele).

Portanto, com os sinais de cada um, podemos definir o sinal geral do nosso limite!!

Ah, a gente pode fazer isso por conta da seguinte propriedade:

lim x → 2 π - ⁡ x sin ⁡ x = lim x → 2 π - ⁡ x lim x → 2 π - ⁡ sin ⁡ x

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Analisando primeiramente o numerador, temos:

lim x → 2 π - ⁡ x = 2 π

Veja que o numerador tende a um número positivo e próximo de 2 π .

Passo 3

Agora, analisando o denominador, temos:

lim x → 2 π - ⁡ sin ⁡ x

Vamos verificar o que acontece quando x → 2 π - no círculo trigonométrico do seno (no ponto verde):

Perceba que o seno tende a 0 pelo lado negativo, logo o limite tende a um número negativo próximo de zero.

Passo 4

Dessa forma, temos que a divisão de um número positivo por um número negativo próximo de zero.

Assim, nosso limite tenderá a um número infinito e negativo, ou seja:

lim x → 2 π - ⁡ x   c o s s e c   x = - ∞

Analisando parte do gráfico da função x   c o s s e c   x no ponto de interesse (em azul):

Podemos então, confirmar o limite tende a - ∞ .

Resposta

lim x → 2 π - ⁡ x   c o s s e c   x

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