Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.2 - Ex. 34
Determine o limite infinito.
Passo 1
Eaeee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá o seguinte limite:
Ainda de acordo com o enunciado, o resultado desse limite é um número que tende ao infinito.
Mas qual infinito? Positivo ou negativo??
Para descobrirmos isso, teremos que estudar bem o nosso limite.
Como assim??
Bom... basicamente vamos ver o que acontece com o sinal do numerador e do denominador quando (quando tende a pelos números menores que ).
Com os sinais de cada um, podemos definir o sinal geral do nosso limite!!
Ah, a gente pode fazer isso por conta da seguinte propriedade:
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Analisando primeiramente o numerador:
Perceba que quando , o nosso limite fica:
Logo, o resultado do nosso limite tende a um número positivo e próximo de !!
Passo 3
Agora, analisando o denominador, temos:
Para entender melhor, vamos aplicar esse limite para um número relativamente menor e próximo de :
Perceba que o resultado da expressão será um número ligeiramente negativo e muito próximo de zero.
Ainda, quando elevamos a potência, ele continua sendo negativo e muito próximo de zero.
Passo 4
Dessa forma, temos uma divisão de um número positivo por um negativo.
E uma divisão entre um número positivo e um negativo resulta em um número negativo!!
Assim, como o denominador é próximo de zero e negativo podemos concluir que o nosso limite tenderá a um número que tende a menos infinito:
Passo 5
Resumindo: Uma vez que o numerador é positivo, e como o denominador se aproxima de zero por valores sempre negativos (devido ao que está dentro do parênteses ser sempre menor que zero pois estamos nos aproximando de 3 pelo lado esquerdo da reta real, e por valores menores que 3, e a exponenciação ser de valor ímpar), o valor da divisão será negativo.
Podemos confirmar o valor obtido no passo 1 através da análise do gráfico da função:
