Determine o limite infinito.

lim x → 0 + ⁡ 1 x - l n x

Passo 1

Fala aí...

Nessa questão devemos analisar o limite lateral:

lim x → 0 + ⁡ 1 x - l n x

Um limite lateral é quando queremos ver para onde a função vai quando os valores de x tendem a um determinado valor apenas por um lado.

Aqui, queremos ver como se comporta essa função quando x tende a zero apenas por valores maiores que zero, ou seja, o limite pela direita dessa função.

Repara que temos duas funções que conhecemos o seu gráfico (se você não conhece, vai conhecer agora e lembrar deles, pois eles são super importantes).

A função 1 / x que possui o seguinte gráfico:

Onde a gente percebe que quando x tende a zero pela direita, a função tende a + ∞ :

l i m x → 0 + 1 x = + ∞   ⁡

E a função l n x que possui o seguinte gráfico:

Onde percebemos que quando x tende a 0 pela direita a função tende a - ∞ :

l i m x → 0 + l n x = - ∞

Passo 2

Analisaremos então o limite de:

lim x → 0 + ⁡ 1 x - l n x

Como sabemos que, quando:

x → 0 +

Então:

1 x → ∞

ln ⁡ x → - ∞

Dessa forma, devido ao sinal negativo que precede ln ⁡ x , teremos dois números positivos muito grandes sendo somados dentro do limite, sendo assim:

lim x → 0 + ⁡ 1 x - l n x = ∞ - - ∞ = ∞ + ∞

lim x → 0 + ⁡ 1 x - l n x = ∞

Repare que ∞ + ∞ = ∞ , ou seja, um número muito grande somado por outro número muito grande, resulta em um número muito grande.

Só precisamos tomar cuidado quando temos ∞ - ∞ , pois isso não resulta em zero e sim em uma indeterminação.

Passo 3

Analisando parte do gráfico da função:

1 x - l n x

no ponto de interesse, isso é para x tendendo a zero pela direita, temos:

Podemos então, confirmar o que foi encontrado no passo 2:

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = ∞

Resposta

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = ∞

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