Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.2 - Ex. 43

Determine o limite infinito.

Passo 1

E aí! tudo certinho? 😊

Nesse problema queremos mostrar que o limite tende ao infinito.

Tem ideia de como fazer isso? 😬

Bom, o limite de uma função em um ponto é o valor que a função se aproxima à medida que a variável independente se aproxima desse ponto, sem necessariamente alcançá-lo. No entanto, em certos casos, é crucial considerar as abordagens da esquerda e da direita separadamente. Isso é onde os limites laterais entram em jogo.

Considere uma função e um ponto no domínio de . O limite lateral esquerdo de quando se aproxima de é denotado por . Isso significa que estamos observando o comportamento de à medida que se aproxima de a partir de valores menores que Em outras palavras, estamos examinando o que acontece com a função à esquerda de

Da mesma forma, o limite lateral direito de quando se aproxima de é denotado por . Isso implica que estamos analisando o comportamento de à medida que se aproxima de a partir de valores maiores que ou seja, à direita de

Passo 2

Se ambos os limites laterais se aproximam de um mesmo valor à medida que se aproxima de então o limite da função quando se aproxima de existe e é igual a Isso é representado por:

No entanto, se os limites laterais esquerdo e direito de não convergirem para o mesmo valor conforme se aproxima de então o limite de quando se aproxima de não existe.

Em resumo, os limites laterais permitem examinar o comportamento de uma função em torno de um ponto específico, distinguindo entre as abordagens à esquerda e à direita desse ponto.

Isso é essencial para compreender melhor as características das funções, como descontinuidades, assíntotas e outros comportamentos singulares.

Passo 3

Quando se trata de limite, temos que analisar os valores que as funções tendem a assumir quando a variável se aproxima de um determinado valor.

Então temos que ter em mente que não estamos buscando o valor exato, estamos buscando o valor que a função tende a assumir.

Veja só! 😉

Dado o limite:

Para resolver isso, primeiro vamos analisar cada termo individualmente quando se aproxima de 0.

Passo 4

Para

Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0.

Nesse caso, a função está avaliando o logaritmo natural de números que se aproximam de zero.

Lembre-se de que para próximo a , será um número muito pequeno e positivo.

Assim, estará avaliando o logaritmo de um número positivo próximo de zero, o que resulta em um valor tendendo a , pois o logaritmo natural de um número entre é negativo.

Passo 5

Para

Conforme se aproxima de , se aproxima de , pois , e quando se aproxima de , o denominador se aproxima de , tornando o valor do termo cada vez maior e positivo.

Agora, ao calcular o limite da função original, estamos essencialmente subtraindo um valor tendendo a de um valor tendendo a :

Quando você subtrai um número infinitamente grande de um número infinitamente pequeno, o resultado é um número que tende para , pois a contribuição negativa é maior do que a contribuição positiva.

Portanto, o limite infinito da função original é

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 6

Comprovando graficamente nosso resultado

Um limite convergente é uma propriedade fundamental de uma função que descreve o comportamento da função à medida que a variável independente se aproxima de um determinado valor.

Em termos simples, quando dizemos que o limite de uma função é convergente, estamos afirmando que, à medida que a variável independente se aproxima de um determinado valor, a função se aproxima de um valor específico.

Portanto, um limite convergente descreve a tendência de uma função à medida que sua variável independente se aproxima de um determinado valor, como mostra o gráfico a seguir