Calcule o limite e, quando aplicável, indique o teorema de limite usado.

lim x → 1 2 ⁡ 4 x 2 + 4 x - 3 4 x 2 - 1 3

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0 0 para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Para isso vamos fatorar 4 x 2 + 4 x - 3   e 4 x 2 - 1 em polinômios de grau 1 e substituir na equação.

4 x 2 + 4 x - 3   = ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 3 )

4 x 2 - 1 = ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 )

lim x → 1 2 ⁡ 4 x 2 + 4 x - 3 4 x 2 - 1 3 = lim x → 1 2 ⁡ ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 3 ) ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) 3 =   lim x → 1 2 ⁡ ( 2 x + 3 ) ( 2 x + 1 ) 3

Passo 2

Aplicando o Teorema do Limite 10 temos:

lim x → 1 2 ⁡ ( 2 x + 3 ) ( 2 x + 1 ) 3

Passo 3

Aplicando o Teorema do Limite 9 temos:

lim x → 1 2 ⁡ 2 x + 3 lim x → 1 2 ⁡ 2 x + 1 3

Passo 4

Agora aplicando o Teorema do Limite 1.

2 1 2 + 3 2 1 2 + 1 3

1 + 3 1 + 1 3

4 2 3

2 3

Resposta

lim x → 1 2 ⁡ 4 x 2 + 4 x - 3 4 x 2 - 1 3 =   2 3

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