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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 58

Determine o limite:

underset(x -> 0)(lim) ( e^x + x )^((1)/(x))

Passo 1

O limite resulta em uma indeterminação da forma 1^(oo) .

Para fugir da indeterminação, vamos fazer f (x) = (e^x + x)^((1)/(x)) . Agora vamos fazer o logaritmo dos dois lados:

ln ( f (x) ) = ln (e^x + x)^((1)/(x))

Isso resulta em: ln f ( x ) = (ln ( e^x + x ))/(x)

Então...

underset(x -> 0)(lim) ln f ( x ) = underset(x -> 0)(l i m) (ln ( e^x + x ))/(x)

Passo 2

Agora, vamos aplicar a regra de L´Hôpital e derivar a função de cima e a de baixo...

underset(x -> 0)(l i m) (ln ( e^x + x ))/(x) = underset(x -> 0)(l i m) ((1)/(e^x + x) (e^x + 1))/(1) = underset(x -> 0)(l i m) (e^x + 1)/(e^x + x) = (1 + 1)/(1 + 0) = 2

Bom, então underset(x -> 0)(l i m) ln f ( x ) = 2

Vamos usar a exponencial dos dois lados então...

underset(x -> 0)(l i m) e^(ln f (x)) = e^2

underset(x -> 0)(l i m) f (x) = e^2

E encontramos o limite procurado😉

Resposta

underset(x -> 0)(lim) ( e^x + x )^((1)/(x)) = e^2

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