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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 24

Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite:

lim t → 0 ⁡ t   s e n   t   1 - cos ⁡ t

Passo 1

A regra de L’Hôpital estabelece que para limites indeterminados, temos que lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → a ⁡ f ' ( x ) g ' ( x )   . Então, vamos verificar a indeterminação primeiro. Se substituirmos o valor t = 0 ficamos com 0 1 - 1 = 0 0 . Assim, podemos derivar as duas funções e calcular o limite...

Passo 2

lim t → 0 ⁡ t   s e n   t   1 - cos ⁡ t =   l i m t → 0 ( s e n   t + t cos ⁡ t )   s e n   t

(ainda vai dar indeterminado, vamos aplicar a regra de novo)

l i m t → 0 ( s e n   t + t cos ⁡ t )   s e n   t = l i m t → 0 cos ⁡ t + cos ⁡ t - t   s e n   t cos ⁡ t    

Agora a gente substitui o valor:

l i m t → 0 cos ⁡ t + cos ⁡ t - t   s e n   t cos ⁡ t   = 1 + 1 - 0 1 = 2

Resposta

lim t → 0 ⁡ t   s e n   t   1 - cos ⁡ t = 2

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Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite: lim x → 0 +( ⁡ 3 x + 1 x - 1 s e nx)
Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite: lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( x + 1 ) log 2 ⁡ x
Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite: lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( x 2 + 2 x ) ln ⁡ x
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m t → ∞e t + t 2 e t - t
A regra de l'Hôpital não ajuda com os limites nos Exercícios 67-74. Tente, mas você apenas entrará em um ciclo vicioso. Determine os limites de outra forma. lim x → ∞ ⁡ 9 x + 1 x + 1