Determine o limite:

lim x → 0 + ⁡ 1 + 1 x x

Passo 1

O limite resulta em uma indeterminação da forma   ∞ 0 .

Para fugir da indeterminação, vamos fazer f x = 1 + 1 x x . Agora vamos fazer o logaritmo dos dois lados:

ln ⁡ ( f x ) = ln ⁡ 1 + 1 x x

Isso resulta em: ln ⁡ f ( x ) = ln ⁡ 1 + x - 1 x - 1

Então...

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ f ( x )   = l i m x → 0     ln ⁡ 1 + x - 1 x - 1

Passo 2

Agora, vamos aplicar a regra de L´Hôpital e derivar a função de cima e a de baixo...

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ f x   = l i m x → 0     ln ⁡ 1 + x - 1 x - 1 =

l i m x → 0   - x 2 1 + x - 1 x - 2 = l i m x → 0 1 1 + x - 1 =   l i m x → 0 x x + 1 = 0

Bom, então l i m x → 0 ln ⁡ f ( x ) = 0

Vamos usar a exponencial dos dois lados então...

l i m x → 0 e ln ⁡ f x = e 0

l i m x → 0 f x = 1

E encontramos o limite procurado😉

Resposta

lim x → 0 + ⁡ 1 + 1 x x = 1

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