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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 60

Determine o limite:

underset(x -> 0^+)(lim) (1 + (1)/(x))^x

Passo 1

O limite resulta em uma indeterminação da forma oo^0 .

Para fugir da indeterminação, vamos fazer f (x) = (1 + (1)/(x))^x . Agora vamos fazer o logaritmo dos dois lados:

ln ( f (x) ) = ln (1 + (1)/(x))^x

Isso resulta em: ln f ( x ) = (ln (1 + x^(- 1)))/(x^(- 1))

Então...

underset(x -> 0^+)(lim) ln f ( x ) = underset(x -> 0)(l i m) (ln (1 + x^(- 1)))/(x^(- 1))

Passo 2

Agora, vamos aplicar a regra de L´Hôpital e derivar a função de cima e a de baixo...

underset(x -> 0^+)(lim) ln f (x) = underset(x -> 0)(l i m) (ln (1 + x^(- 1)))/(x^(- 1)) =

underset(x -> 0)(l i m) (((- x^2))/(1 + x^(- 1)))/(x^(- 2)) = underset(x -> 0)(l i m) (1)/(1 + x^(- 1)) = underset(x -> 0)(l i m) (x)/(x + 1) = 0

Bom, então underset(x -> 0)(l i m) ln f ( x ) = 0

Vamos usar a exponencial dos dois lados então...

underset(x -> 0)(l i m) e^(ln f (x)) = e^0

underset(x -> 0)(l i m) f (x) = 1

E encontramos o limite procurado😉

Resposta

underset(x -> 0^+)(lim) (1 + (1)/(x))^x = 1

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