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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 54

Determine o limite:

underset(x -> e^+)(lim) ( ln x )^((1)/(x - e))

Passo 1

O limite resulta em uma indeterminação da forma 1^(oo) .

Para fugir da indeterminação, vamos fazer f (x) = (ln x)^((1)/(x - e)) . Agora vamos fazer o logaritmo dos dois lados:

ln ( f (x) ) = ln ( ln x )^((1)/(x - e))

Isso resulta em: ln f ( x ) = (ln ln x)/(x - e)

Agora temos:

underset(x -> e^+)(lim) ln f ( x ) = underset(x -> e^+)(l i m) (ln ln x)/(x - e)

Passo 2

Agora vamos aplicar L’Hôpital, derivando a função de cima e a de baixo...

underset(x -> e^+)(l i m) (ln ln x)/(x - e) = underset(x -> e^+)(l i m) (((1)/(x ln x)))/(1) = ((1)/(e))/(1) = (1)/(e)

Então, underset(x -> oo)(lim) ln f ( x ) = (1)/(e) , elevando os dois lados à exponencial...

underset(x -> e^+)(lim) ln f ( x ) = (1)/(e) underset(x -> e^+)(lim) e^(l n f (x)) = e^((1)/(e))

underset(x -> oo)(l i m) f (x) = e^((1)/(e))

E encontramos o limite procurado😉

Resposta

underset(x -> e^+)(lim) ( ln x )^((1)/(x - e)) = e^((1)/(e))

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