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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 66

Determine o limite:

underset(x -> 0^+)(lim) s e n x * l n x

Passo 1

Sabemos que ln x não está definido para x = 0 , então vamos usar L’Hôpital para fugirmos da indeterminação.

Primeiro, vamos reescrever o limite como um quociente:

underset(x -> 0^+)(lim) (ln x)/(csc x)

Agora a gente já pode aplicar L’Hôpital...

Passo 2

Vamos derivar a função de cima e a de baixo...

underset(x -> 0^+)(lim) (ln x)/(csc x) = underset(x -> 0^+)(l i m) ((1)/(ln x))/(- csc x cot x) = underset(x -> 0^+)(l i m) ((1)/(ln x))/((- 1)/(s e n x t g x)) = underset(x -> 0^+)(l i m) (- s e n x t g x)/(ln x)

Vamos derivar de novo...

underset(x -> 0^+)(l i m) (- s e n x t g x)/(ln x) = underset(x -> 0^+)(l i m) ((- s e n x sec^2 x + cos x t g x)/(1))

Agora substituímos o valor...

underset(x -> 0^+)(l i m) ((- s e n 0 sec^2 0 + cos 0 t g 0)/(1)) = (0)/(1) = 0

E encontramos o limite procurado😉

Resposta

underset(x -> 0^+)(lim) s e n x * l n x = 0

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Encontre o limite.underset(x - 0^+)(lim) - l n x^x
Encontre o limite. lim x → ∞ ⁡ l n x 1 x
Encontre o limite.underset(x - 0^+)(lim) x^(s e n x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) cosssec x - (1)/(x)
Encontre o limite. lim x → π 2 - ⁡ t g x π 2 - x