Determine o limite:

lim x → 0 + ⁡ s e n   x   ∙ l n   x

Passo 1

Sabemos que ln ⁡ x não está definido para x = 0 , então vamos usar L’Hôpital para fugirmos da indeterminação.

Primeiro, vamos reescrever o limite como um quociente:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x csc ⁡ x

Agora a gente já pode aplicar L’Hôpital...

Passo 2

Vamos derivar a função de cima e a de baixo...

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x csc ⁡ x = l i m x → 0 + 1 ln ⁡ x - csc ⁡ x cot ⁡ x =   l i m x → 0 + 1 ln ⁡ x - 1 s e n   x   t g   x =   l i m x → 0 + - s e n   x   t g   x ln ⁡ x

Vamos derivar de novo...

l i m x → 0 + - s e n   x   t g   x ln ⁡ x =   l i m x → 0 + - s e n   x sec 2 ⁡ x + cos ⁡ x   t g   x 1

Agora substituímos o valor...

l i m x → 0 + - s e n   0 sec 2 ⁡ 0 + cos ⁡ 0   t g   0 1 = 0 1 = 0

E encontramos o limite procurado😉

Resposta

lim x → 0 + ⁡ s e n   x   ∙ l n   x = 0

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