Determine o limite:

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 x + 2 1 x

Passo 1

O limite resulta em uma indeterminação da forma   ∞ 0 .

Para fugir da indeterminação, vamos fazer f x = x 2 + 1 x + 2 1 x . Agora vamos fazer o logaritmo dos dois lados:

ln ⁡ ( f x ) = ln ⁡ x 2 + 1 x + 2 1 x

Isso resulta em: ln ⁡ f ( x ) = 1 x ln ( ⁡ x 2 + 1 x + 2 )

Então...

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ f ( x )   = l i m x → ∞ 1 x ln ( ⁡ x 2 + 1 x + 2 )    

E vamos reescrever como um quociente:

l i m x → ∞   ln ⁡ x 2 + 1 x + 2 x =   l i m x → ∞   ln ⁡ x 2 + 1 - l n ⁡ ( x + 2 ) x

Passo 2

Agora, vamos aplicar a regra de L´Hôpital e derivar a função de cima e a de baixo...

l i m x → ∞   ln ⁡ x 2 + 1 - l n ⁡ ( x + 2 ) x =   l i m x → ∞   2 x x 2 - 1 - 1 x + 2 1

l i m x → ∞ ( x 2 + 4 x - 1 ) ( x 2 + 1 ) ( x + 2 )

Vamos derivar de novo...

l i m x → ∞ 2 x + 4 3 x 2 + 4 x + 1 =   l i m x → ∞ 2 6 x + 4 = 0

Bom, então l i m x → ∞ ln ⁡ f ( x ) = 0

Vamos usar a exponencial dos dois lados então...

l i m x → ∞ e ln ⁡ f x = e 0

l i m x → ∞ f x = 1

E encontramos o limite procurado😉

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 x + 2 1 x = 1

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