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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 62

Determine o limite:

underset(x -> oo)(lim) ((x^2 + 1)/(x + 2))^((1)/(x))

Passo 1

O limite resulta em uma indeterminação da forma oo^0 .

Para fugir da indeterminação, vamos fazer f (x) = ((x^2 + 1)/(x + 2))^((1)/(x)) . Agora vamos fazer o logaritmo dos dois lados:

ln ( f (x) ) = ln ((x^2 + 1)/(x + 2))^((1)/(x))

Isso resulta em: ln f ( x ) = (1)/(x) ln ( (x^2 + 1)/(x + 2) )

Então...

underset(x -> oo)(lim) ln f ( x ) = underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x) ln ( (x^2 + 1)/(x + 2) )

E vamos reescrever como um quociente:

underset(x -> oo)(l i m) ((ln (x^2 + 1)/(x + 2))/(x)) = underset(x -> oo)(l i m) (ln (x^2 + 1) - l n ( x + 2 ))/(x)

Passo 2

Agora, vamos aplicar a regra de L´Hôpital e derivar a função de cima e a de baixo...

underset(x -> oo)(l i m) (ln (x^2 + 1) - l n ( x + 2 ))/(x) = underset(x -> oo)(l i m) ((2 x)/(x^2 - 1) - (1)/(x + 2))/(1)

underset(x -> oo)(l i m) (( x^2 + 4 x - 1 ))/(( x^2 + 1 ) ( x + 2 ))

Vamos derivar de novo...

underset(x -> oo)(l i m) (2 x + 4)/(3 x^2 + 4 x + 1) = underset(x -> oo)(l i m) (2)/(6 x + 4) = 0

Bom, então underset(x -> oo)(l i m) ln f ( x ) = 0

Vamos usar a exponencial dos dois lados então...

underset(x -> oo)(l i m) e^(ln f (x)) = e^0

underset(x -> oo)(l i m) f (x) = 1

E encontramos o limite procurado😉

Resposta

underset(x -> oo)(lim) ((x^2 + 1)/(x + 2))^((1)/(x)) = 1

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(a) Explique por que a regra de L’Hôpital não se aplica ao problema lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x sin ⁡ x (b) Encontre o limite
Seja f x = x 2 sin ⁡ 1 x .(a)Os limites lim x → 0 + ⁡ f ( x ) e lim x → 0 - ⁡ f ( x ) são formas indeterminadas?(b)Use um recurso computacional para gerar o gráfico de f e use o gráfico para fazer con
Encontre o limite.underset(x - 0^+)(lim) ( - (1)/(ln x) )^x
Encontre o limite.underset(x - 0^+)(lim) ( e^(2 x) - 1 )^x
Encontre o limite.underset(x - oo)(lim) x^((1)/(x))