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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 55

Determine o limite:

underset(x -> 0^+)(lim) x^(- (1)/(l n x))

Passo 1

O limite resulta em uma indeterminação da forma 0^0 .

Para fugir da indeterminação, vamos fazer f (x) = x^(- (1)/(l n x)) . Agora vamos fazer o logaritmo dos dois lados:

ln ( f (x) ) = ln x^(- (1)/(l n x)) = - (1)/(ln x) ln x

Isso resulta em: ln f ( x ) = - (ln x)/(ln x) = - 1

Passo 2

Então, underset(x -> o^+)(lim) ln f ( x ) = - 1 , elevando os dois lados à exponencial...

underset(x -> o^+)(lim) e^(ln f (x)) = e^(- 1)

underset(x -> o^+)(lim) f ( x ) = (1)/(e)

E encontramos o limite procurado😉

Resposta

underset(x -> 0^+)(lim) x^(- (1)/(l n x)) = (1)/(e)

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