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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 57

Determine o limite:

underset(x -> oo)(lim) (1 + 2 x)^((1)/(2 ln x))

Passo 1

O limite resulta em uma indeterminação da forma oo^0 .

Para fugir da indeterminação, vamos fazer f (x) = (1 + 2 x)^((1)/(2 ln x)) . Agora vamos fazer o logaritmo dos dois lados:

ln ( f (x) ) = ln (1 + 2 x)^((1)/(2 ln x))

Isso resulta em: ln f ( x ) = (ln ( 1 + 2 x ))/(2 ln x)

Então...

underset(x -> oo)(lim) ln f ( x ) = underset(x -> oo)(l i m) (ln ( 1 + 2 x ))/(2 ln x)

Passo 2

Agora, vamos aplicar a regra de L´Hôpital e derivar a função de cima e a de baixo...

underset(x -> oo)(lim) ln f ( x ) = underset(x -> oo)(l i m) (ln ( 1 + 2 x ))/(2 ln x) = underset(x -> oo)(l i m) (x)/(1 + 2 x) = (1)/(2)

Bom, então underset(x -> oo)(l i m) ln f ( x ) = (1)/(2)

Vamos usar a exponencial dos dois lados então...

underset(x -> oo)(l i m) e^(ln f (x)) = e^((1)/(2))

underset(x -> oo)(l i m) f (x) = sqrt(e)

E encontramos o limite procurado😉

Resposta

underset(x -> oo)(lim) (1 + 2 x)^((1)/(2 ln x)) = sqrt(e)

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