Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 68
(a) Explique por que a regra de L’Hôpital não se aplica ao problema
(b) Encontre o limite
Passo 1
(a)Se aplicamos 0 em dentro da função, vamos acabar tendo o seno de um ângulo infinito, que é indeterminado.
A regra de L’Hôpital só pode ser aplicada nas indeterminações do tipo e . Não tendo essas indeterminações, em alguns casos podemos manipular a função de forma que ela chegue a esse formato de indeterminação.
Em outros casos, nem fazendo essa manipulação isso é possível. É esse o caso da função que temos agora. Mas, isso não significa necessariamente que ela tenha um limite inexistente!
Passo 2
(b)O melhor caminho pra determinar esse limite é pelo Teorema do Confronto.
Primeiro, lembramos da trigonometria básica que o seno de um ângulo (que, nesse caso, é descrito por ) está limitado entre e . Escrevemos então:
Agora, repara que se a gente multiplicar cada termo da inequação por a gente vai ter:
Que, no termo do meio, resulta exatamente na nossa função . O Teorema do Confronto diz que, quando uma função é limitada entre outras duas, o limite dessas funções dos extremos a um determinado valor, também vai valer pra função do meio!
Passo 3
Se queremos , podemos calcular e , que vamos ter o resultado pro primeiro limite!
E e são facilmente calculáveis por L’Hôpital! Temos:
Concluímos então, pelo Teorema do Confronto, que: