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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.Exercícios Práticos - Ex. 49

Determine o limite

underset(x -> oo)(lim) (x + s e n x + 2 sqrt(x))/(x + s e n x)

Passo 1

Para descobrir o limite, devemos perceber que a substituição de x por oo resultará em uma indeterminação. Logo, devemos dividir todas as expressões pelo termo de maior ordem do denominador.

Passo 2

underset(x -> oo)(lim) (x + s e n x + 2 sqrt(x))/(x + s e n x) * ((1)/(x))/((1)/(x))

underset(x -> oo)(lim) ((x)/(x) + (s e n x)/(x) + (2 sqrt(x))/(x))/((x)/(x) + (s e n x)/(x))

(underset(x -> oo)(l i m) (x)/(x) + underset(x -> oo)(l i m) (s e n x)/(x) + underset(x -> oo)(l i m) (2 sqrt(x))/(x))/(underset(x -> oo)(l i m) (x)/(x) + underset(x -> oo)(l i m) (s e n x)/(x))

(underset(x -> oo)(l i m) 1 + underset(x -> oo)(l i m) (s e n x)/(x) + underset(x -> oo)(l i m) (2)/(sqrt(x)))/(underset(x -> oo)(l i m) 1 + underset(x -> oo)(l i m) (s e n x)/(x))

(1 + underset(x -> oo)(l i m) (s e n x)/(x) + 0)/(1 + underset(x -> oo)(l i m) (s e n x)/(x))

Passo 3

Para resolver underset(x -> oo)(l i m) (s e n x)/(x)

devemos notar que - 1 <= s e n x <= 1 e que underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x) = 0

Logo,

underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x) * ( - 1 ) <= underset(x -> oo)(l i m) (s e n x)/(x) <= underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x) * 1

0 * ( - 1 ) <= underset(x -> oo)(l i m) (s e n x)/(x) <= 0 * 1

0 <= underset(x -> oo)(l i m) (s e n x)/(x) <= 0

Portanto, pelo teorema do confronto, é possível afirmar que underset(x -> oo)(l i m) (s e n x)/(x) = 0

Passo 4

Sabendo o valor de underset(x -> oo)(l i m) (s e n x)/(x)

(1 + underset(x -> oo)(l i m) (s e n x)/(x) + 0)/(1 + underset(x -> oo)(l i m) (s e n x)/(x)) = (1 + 0 + 0)/(1 + 0) = 1

Resposta

underset(x -> oo)(lim) (x + s e n x + 2 sqrt(x))/(x + s e n x) = 1

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