Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.6 - Ex. 10
Determine o limite QUOTE _x0001_
Passo 1
Antes de calcularmos o limite, vamos analisar a função que está em jogo, certo ?
Temos a função QUOTE _x0001_
Se olharmos para o numerador da função, temos uma variação da função seno. Vamos analisar o gráfico dessa função, beleza?
Olhando bem rapidinho, dá pra ver que a função cosseno, varia entre QUOTE _x0001_
. Isso significa dizer que
Mais ainda, QUOTE _x0001_
significa dizer que
Se você parar pra fuçar a memória, vai lembrar de uma parada em que calculamos o limite entre desigualdades... lembrou? O nome dessa bagaça é Teorema do confronto, ou teorema do sanduiche, que é onde uma função fica apertada por outras duas como a carne de hamburguer fica entre o pão e ai é só aplicar o limite em todas as desigualdades, né? .
Mas e aí? Cabou? Já podemos aplicar o limite ?
Passo 2
Não! A função que temos que calcular o limite é QUOTE _x0001_
, então falta uma parte, beleza ?
A gente pode fazer ela aparecer, é só multiplicar o que a gente precisa aqui ó:
Então é só isso? Não, véi. Tem que parar mais uma vez. É, eu sei... já bem longa essa questão, até eu já tô sem paciência, mas vamos respirar fundo pra gente fazer o negócio direitinho, belezal ?
Passo 3
Você já sacou que tem que multiplicar QUOTE _x0001_
por todo mundo ali em cima e aplicar o limite mas... não sabemos qual o sinal dessa coisa, então vamos ver dois casos
Como QUOTE _x0001_
A desigualdade vai inverter, ou seja,
Então, vamo lá, podemos passar o limite agora e nossa conta fica assim:
E aí, cabe a nós, meros mortais sabermos que que acontece com esses caras aqui:
QUOTE _x0001_
Tá ligado que esse limites são zero ne? Sabe, o motivo?
Isso acontece porque quando fazemos QUOTE _x0001_
, estamos fazendo uma divisão do 1 por valores cada vez maiores e então o resultado da divisão é cada vez menor. Por exemplo se tivéssemos 1 real para dividir entre 2 pessoas, o valor seria razoável, mas e se fosse pra 100? Para mil? Percebeu?
Então, por isso
E como
Então, finalmente podemos concluir alguma coisa sobre o limite nesse primeiro caso... Já que
E
Pelo teorema do Confronto/ Sanduiche,
QUOTE _x0001_
A ideia é que assim, como o pão na chapa aperta a carne de hamburguer, as duas funções d aponta apertam a do meio e faz o limite dela ir pro mesmo canto.
Resposta
