Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.1 - Ex. 30

Variação do volume da bola Qual é a taxa de variação do volume de uma bola V = 4 3 π r 3 em relação ao raio quando este for r = 2 ?

Passo 1

A primeira parte do problema é perceber que foi dada uma função que relaciona o volume com o raio

f r = 4 3 π r 3

Como ele quer a taxa de variação, ele está pedindo a derivada da função no ponto r = 2 . Por isso precisamos lembrar que

f ' r = lim h → 0 ⁡ f r + h - f r h

Passo 2

Agora precisamos substituir a função f r na equação acima:

f ' r = lim h → 0 ⁡ 4 3 π r + h 3 - 4 3 π r 3 h

Substituindo h = 0 , vemos que dá ruim

f ' r = lim h → 0 ⁡ 4 3 π r + h 3 - 4 3 π r 3 h = 4 3 π r + 0 3 - 4 3 π r 3 0 = 0 0

Portanto precisamos fazer algumas manipulações para sairmos desse problema. Podemos começar abrindo o termo r + h 3 , lembrando que a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

f ' r = lim h → 0 ⁡ 4 3 π r 3 + 3 r 2 h + 3 r h 2 + h 3 - 4 3 π r 3 h

f ' r = lim h → 0 ⁡ 4 3 π r 3 + 4 3 π ∙ 3 r 2 h + 4 3 π ∙ 3 r h 2 + 4 3 π h 3 - 4 3 π r 3 h

f ' r = lim h → 0 ⁡ 4 π r 2 h + 4 π r h 2 + 4 3 π h 3 h

Passo 3

Em seguida cortamos o termo h

f ' r = lim h → 0 ⁡ 4 π r 2 + 4 π r h + 4 3 π h 2 = 4 π r 2 + 4 π r ∙ 0 + 4 3 π 0 2 = 4 π r 2

Passo 4

Substituindo o valor de r dado

f ' r = 4 π ∙ 2 2 = 16 π

Agora é só correr para o sucesso!

Resposta

f ' r = 1 6 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sendo f x = x 8 - 2 x + 3 , encontre: lim w → 2 ⁡ f ' w - f ' ( 2 ) w - 2
A Lei da Gravidade Universal de Newton afirma que a magnitude F da força exercida por um ponto com massa M sobre um ponto com massa m é F = G m M r 2 onde G é uma constante e r , a distância entre os
Determine se a função dada é diferenciável em um valor x = x 0 , sendo que f está definida por fórmulas diferentes em lados diferentes de x 0 . Para isso, pode ser usado o resultado seguinte, que é um
Use um recurso gráfico para fazer estimativas grosseiras dos intervalos nos quais f ' ( x )0 e os encontre exatamente por diferenciação. f x = x 3 - 3 x
Determine se a função dada é diferenciável em um valor x = x 0 , sendo que f está definida por fórmulas diferentes em lados diferentes de x 0 . Para isso, pode ser usado o resultado seguinte, que é um