Variação do volume da bola Qual é a taxa de variação do volume de uma bola V = (4 / 3) * pi * r^3 em relação ao raio quando este for r = 2 ?

Passo 1

A primeira parte do problema é perceber que foi dada uma função que relaciona o volume com o raio

f r = 4 3 π r 3

Como ele quer a taxa de variação, ele está pedindo a derivada da função no ponto r = 2 . Por isso precisamos lembrar que

f ' r = lim h → 0 ⁡ f r + h - f r h

Passo 2

Agora precisamos substituir a função f r na equação acima:

f ' r = lim h → 0 ⁡ 4 3 π r + h 3 - 4 3 π r 3 h

Substituindo h = 0 , vemos que dá ruim

f ' r = lim h → 0 ⁡ 4 3 π r + h 3 - 4 3 π r 3 h = 4 3 π r + 0 3 - 4 3 π r 3 0 = 0 0

Portanto precisamos fazer algumas manipulações para sairmos desse problema. Podemos começar abrindo o termo r + h 3 , lembrando que a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

f ' r = lim h → 0 ⁡ 4 3 π r 3 + 3 r 2 h + 3 r h 2 + h 3 - 4 3 π r 3 h

f ' r = lim h → 0 ⁡ 4 3 π r 3 + 4 3 π ∙ 3 r 2 h + 4 3 π ∙ 3 r h 2 + 4 3 π h 3 - 4 3 π r 3 h

f ' r = lim h → 0 ⁡ 4 π r 2 h + 4 π r h 2 + 4 3 π h 3 h

Passo 3

Em seguida cortamos o termo h

f ' r = lim h → 0 ⁡ 4 π r 2 + 4 π r h + 4 3 π h 2 = 4 π r 2 + 4 π r ∙ 0 + 4 3 π 0 2 = 4 π r 2

Passo 4

Substituindo o valor de r dado

f ' r = 4 π ∙ 2 2 = 16 π

Agora é só correr para o sucesso!

Resposta

f ' r = 1 6 π

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