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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.4 - Ex. 39

Determine o limite a seguir

underset(x -> 0)(lim) (t g 3 x)/(s e n 8 x)

Passo 1

Já sabemos que

underset(theta -> 0)(lim) (s e n theta)/(theta) = underset(theta -> 0)(lim) (theta)/(s e n theta) = 1

Precisamos encontrar uma expressão parecida com essa então...

Sabemos que

t g 3 x = (sen 3 x)/(cos 3 x)

𝐸ntão

underset(x -> 0)(lim) (t g 3 x)/(s e n 8 x) = underset(x -> 0)(lim) (s e n 3 x)/(cos 3 x) . (1)/(s e n 8 x)

Temos s e n 3 x no numerador e s e n 8 x no denominador, bem próximo do que queremos

Vamos fazer o seguinte então

underset(x -> 0)(lim) (s e n 3 x)/(cos 3 x) . (1)/(s e n 8 x) . (8 x)/(3 x) . (3)/(8) = (3)/(8) underset(x -> 0)(lim) (sen 3 x)/(3 x) . (8 x)/(s e n 8 x) . (1)/(cos 3 x)

Que resulta em

(3)/(8) underset(x -> 0)(lim) (sen 3 x)/(3 x) . (8 x)/(s e n 8 x) . (1)/(cos 3 x) = (3)/(8) . 1 . 1 . 1 = (3)/(8)

Resposta

(3)/(8)

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lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x x
lim x → 0 ⁡ x 2 sin 2 ⁡ 3 x
lim y → 0 ⁡ 3 y sin ⁡ 5 y
lim x → 0 ⁡ sin 5 ⁡ 2 x 4 x 5
lim x → π + ⁡ sin ⁡ x x - π (Sugestão: seja t = x - π )