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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 8

underset(x -> 0)(lim) (sin^5 2 x)/(4 x^5)

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação (0)/(0) para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos multiplicar e dividir o limite por 8 e aplicar a propriedade de colocar a constante fora do limite.

underset(x -> 0)(lim) (sin^5 2 x)/(4 x^5) * (8)/(8)

8 underset(x -> 0)(lim) (sin^5 2 x)/(4 * 8 * x^5)

Passo 2

Agora vamos aplicar a propriedade da potência de limites e também da soma de potência de produto de potências de mesma base.

8 underset(x -> 0)(lim) (sin^5 2 x)/(2^2 * 2^3 * x^5)

8 underset(x -> 0)(lim) (sin^5 2 x)/(2^5 * x^5)

8 (underset(x -> 0)(lim) (sin 2 x)/(2 x))^5

Passo 3

Agora vamos substituir 2x por u e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

2 x = u

x -> 0 => u -> 0

8 (underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u))^5

Passo 4

Por fim utilizaremos do limite fundamental underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u) = 1 .

8 (underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u))^5

8 (1)^5

8

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (sin^5 2 x)/(4 x^5) = 8

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