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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 7

underset(x -> 0)(lim) (x^2)/(sin^2 3 x)

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação (0)/(0) para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos multiplicar e dividir o limite por 9 e aplicar a propriedade de colocar a constante fora do limite.

underset(x -> 0)(lim) (x^2)/(sin^2 3 x) * (9)/(9)

(1)/(9) * underset(x -> 0)(lim) (9 x^2)/(sin^2 3 x)

Passo 2

Agora vamos substituir 3x por u e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

3 x = u

x -> 0 => u -> 0

(1)/(9) * underset(x -> 0)(lim) (9 x^2)/(sin^2 3 x)

(1)/(9) * underset(x -> 0)(lim) (( 3 x )^2)/(sin^2 3 x)

(1)/(9) * underset(u -> 0)(lim) (u^2)/(sin^2 u)

Passo 3

Agora vamos aplicar a propriedade da potência de limites.

(1)/(9) * (underset(u -> 0)(lim) (u)/(sin u))^2

Passo 4

Agora vamos multiplicar e dividir o limite por (1)/(u) e aplicar a propriedade da divisão de limites.

(1)/(9) * (underset(u -> 0)(lim) (u)/(sin u) * ((1)/(u))/((1)/(u)))^2

(1)/(9) * ((underset(u -> 0)(lim) 1)/(underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u)))^2

Passo 5

Por fim utilizaremos do limite fundamental underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u) = 1 .

(1)/(9) * ((underset(u -> 0)(lim) 1)/(underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u)))^2

(1)/(9) * ((1)/(1))^2

(1)/(9)

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (x^2)/(sin^2 3 x) = (1)/(9)

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