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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.2 - Ex. 22

Determine os limites nos Exercícios 11-22.

underset(h -> 0)(lim) (sqrt(5 h + 4) - 2)/(h)

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é h = 0 e a função f (h) = (sqrt(5 h + 4) - 2)/(h) . Então, temos que

f (0) = (sqrt(5 ( 0 ) + 4) - 2)/(0) = (sqrt(4) - 2)/(0) = (0)/(0)

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite! Sempre que tiver uma raiz envolvida, a boa é multiplicar pelo conjugado no numerador e no denominador. Mas quem é o conjugado de sqrt(5 h + 4) - 2 ?

Ele mesmo:

sqrt(5 h + 4) + 2

Basta inverter o sinal depois da raiz.

Passo 4

Show, então vamos multiplicar:

underset(h -> 0)(lim) (sqrt(5 h + 4) - 2)/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((sqrt(5 h + 4) - 2) (sqrt(5 h + 4) + 2))/(h (sqrt(5 h + 4) + 2))

Passo 5

Agora vamos usar a fatoração ali no numerador. Vamos usar o caso da diferença de quadrados que diz que:

a^2 - b^2 = ( a - b ) ( a + b )

No nosso caso, temos que a = sqrt(5 h + 4) e b = 2 . Então o numerador vai ficar:

(sqrt(5 h + 4) - 2) (sqrt(5 h + 4) - 2) = (sqrt(5 h + 4))^2 - (2)^2 = (5 h + 4) - (4) = 5 h

Passo 6

Vamos ter então que

underset(h -> 0)(lim) ((sqrt(5 h + 4) - 2) (sqrt(5 h + 4) + 2))/(h (sqrt(5 h + 4) + 2)) = underset(h -> 0)(lim) (5 h)/(h (sqrt(5 h + 4) + 2)) = underset(h -> 0)(lim) (5)/((sqrt(5 h + 4) + 2))

Passo 7

Depois dessa manipulação toda, vamos tentar substituir novamente?

(5)/((sqrt(5 ( 0 ) + 4) + 2)) = (5)/((sqrt(4) + 2)) = (5)/(2 + 2) = (5)/(4)

Oba, agora deu um número! Esse é o valor do limite.

Resposta

underset(h -> 0)(lim) (sqrt(5 h + 4) - 2)/(h) = (5)/(4)

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47-50. São dados um número positivo ϵ e o limite L de uma função f em - ∞ . Encontre um número negativo N tal que f x - Lϵ se xN .50. lim x → - ∞ x x + 1⁡ = 0 ;ϵ = 0,001
47-50. São dados um número positivo ϵ e o limite L de uma função f em - ∞ . Encontre um número negativo N tal que f x - Lϵ se xN .47. lim x → - ∞ ⁡ 1 x + 2 = 0 ;ϵ = 0,005
47-50. São dados um número positivo ϵ e o limite L de uma função f em - ∞ . Encontre um número negativo N tal que f x - Lϵ se xN .49. lim x → - ∞ ⁡ 4 x - 1 2 x + 5 = 2 ;ϵ = 0,1
51-56. Use as Definições 1.4.2 ou 1.4.3 para provar que o limite dado está correto.53. lim x → - ∞ ⁡ 4 x - 1 2 x + 5 = 2
41. a) Encontre os valores de x 1 e x 2 na figura a seguir.b) Encontre um número positivo N , tal que: x 2 1 + x 2 - 1ϵ Com xN .c) Encontre um número negativo N , tal que: x 2 1 + x 2 - 1ϵ Com xN .