Enunciado

51-56. Use as Definições 1.4.2 ou 1.4.3 para provar que o limite dado está correto.

53. lim x → - ∞ ⁡ 4 x - 1 2 x + 5 = 2

Passo 1

Da definição de limites no infinito, temos o seguinte, galera:

lim x → - ∞ ⁡ f x = L

Se, dado qualquer número ϵ > 0 , houver um número correspondente N tal que:

f x - L < ϵ

Mas só se:

x < N

O que devemos fazer aqui é analisar essas restrições com base na função que nos foi dada e compara-las, a fim de encontrar um número N que satisfaça (ou não) as condições do problema.

Passo 2

Substituindo nossos valores, teremos:

4 x - 1 2 x + 5 - 2 < ϵ

11 2 x + 5 < ϵ

Isolando x , teremos:

2 x + 5 > 11 ϵ

x < - 11 2 ϵ - 5 2

Mas só se:

x < N

Comparando os resultados, temos que:

N = - 11 2 ϵ - 5 2

Em outras palavras, conseguimos encontrar um valor de N que satisfaz as condições do problema, galera! Dessa forma, fica provado que, de fato, o limite está correto!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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