Enunciado

Determine os limites nos Exercícios 23-42.

underset(x -> 5)(lim) (x - 5)/(x^2 - 25)

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é x = 5 e a função f (x) = (x - 5)/(x^2 - 25) . Então, temos que

f (5) = (5 - 5)/(( 5 )^2 - 25) = (0)/(0)

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tiver um polinômio no numerador e no denominador, vamos tentar fatorar esses polinômios.

Nesse caso o numerador já está fatorado, então basta olhar o denominador. Vamos lembrar do caso de fatoração:

a^2 - b^2 = ( a - b ) ( a + b )

Comparando essa expressão com o denominador, vamos ter que a = x e b = 5 , então

x^2 - 25 = ( x + 5 ) ( x - 5 )

Passo 4

Show, então vamos ver o que temos?

underset(x -> 5)(lim) (x - 5)/(x^2 - 25) = underset(x -> 5)(lim) (x - 5)/(( x + 5 ) ( x - 5 )) = underset(x -> 5)(lim) (1)/(( x + 5 ))

Na última igualdade simplificamos o numerador com um dos termos do denominador!

Passo 5

Agora podemos substituir o valor do ponto na função e ver o que acontece!

underset(x -> 5)(lim) (1)/(( x + 5 )) = (1)/(5 + 5) = (1)/(10)

Resposta

underset(x -> 5)(lim) (x - 5)/(x^2 - 25) = (1)/(10)

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