17-26. Use a Definição 1.4.1 para provar que o limite dado está correto.

23. lim x → 1 ⁡ f x = 3 , onde f x = x + 2 ,       x ≠ 1 10 ,     x = 1

Passo 1

Então galera, o enunciado pede para que utilizemos da definição formal de limites para provar que o limite que nos foi dado está, de fato, correto. A definição formal, caso não se lembre, nos diz:

lim x → a ⁡ f x = L

Se, para qualquer número ϵ > 0 , pudermos encontrar um número δ > 0 tal que:

f x - L < ϵ   s e   0 < x - a < δ

Parece complicado toda essa notação, não é mesmo? Prometo que não é tudo isso, bora lá!

Passo 2

Antes de tudo, temos que nosso limite é o seguinte:

lim x → 1 ⁡ f x = 3

Como x ≠ 1 , vamos utilizar f x = x + 2 , beleza? Sendo assim, utilizando a definição temos:

x + 2 - 3 < ϵ

x - 1 < ϵ

Mas só se:

0 < x - 1 < δ

Disso podemos tirar que δ = ϵ . Como o primeiro módulo é equivalente ao segundo e esse mesmo segundo se verifica com o δ que acabamos de encontrar, então o primeiro módulo também se verifica com esse mesmo δ que acabamos de encontrar. Dessa forma, fica provado que o limite, de fato, está correto.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sejam f e g definidas em R com g x = 0 para todo x . Suponhas que lim x → p ⁡ f x g x = 0 . Prove que existe δ0 tal que 0x - pδ ⟹ f xg x
Prove: underset(x - p)(lim) f (x) = L = underset(x - p)(lim) [f (x) - L] = 0
Prove: underset(x - p)(lim) (f (x))/(x - p) = 0 = underset(x - p)(lim) (f (x))/(|x - p|) = 0 .
Suponha que lim x → p ⁡ f x = L . Prove que existem r0 e M0 tais que, para todo x ∈ D f , 0x - pr ⟹ f x ≤ M .
Prove que existe delta0 tal que1 - deltax1 + delta ⟹ 2 - (1)/(3)x^2 + x2 + (1)/(3)