Determine os limites nos Exercícios 23-42.

lim x → 4 ⁡ 4 - x 5 - x 2 + 9

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é x = 4 e a função f x = 4 - x 5 - x 2 + 9 . Então, temos que

f 4 = 4 - ( 4 ) 5 - ( 4 ) 2 + 9 = 0 5 - 25 = 0 0

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tiver uma raiz nós vamos multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado! Para achar o conjugado basta inverter o sinal do termo, ou seja, o conjugado de 5 - x 2 + 9 é:

5 + x 2 + 9

Passo 4

Então vamos fazer a multiplicação e a substituição do numerador pela forma fatorada

lim x → 4 ⁡ 4 - x 5 - x 2 + 9 ⋅ 5 + x 2 + 9 5 + x 2 + 9 = lim x → 4 ⁡ ( 4 - x ) ( 5 + x 2 + 9 ) ( 5 - x 2 + 9 ) ( 5 + x 2 + 9 )

Agora vamos olhar para o denominador e vamos precisar lembrar do caso da diferença de quadrados que diz que:

a + b a - b = a 2 - b 2

No nosso caso, comparando as expressões vamos ter que a = 5 e b = x 2 + 9 . Então o numerador vai ficar

5 - x 2 + 9 5 + x 2 + 9 = 5 2 - x 2 + 9 2 = 25 - x 2 + 9 = 16 - x 2

Sempre devemos tentar deixar os termos na forma mais fatorada possível, isso ajuda muito nas contas! Talvez você não esteja vendo, mas 16 - x 2 = 4 2 - x 2 é um caso de diferença de quadrados com a = 4 e b = x , ou seja:

5 - x 2 + 9 5 + x 2 + 9 = 16 - x 2 = 4 + x 4 - x

Passo 5

Vamos juntar tudo então

lim x → 4 ⁡ ( 4 - x ) ( 5 + x 2 + 9 ) ( 5 - x 2 + 9 ) ( 5 + x 2 + 9 ) = lim x → 4 ⁡ ( 4 - x ) ( 5 + x 2 + 9 ) ( 4 + x ) ( 4 - x ) = lim x → 4 ⁡ ( 5 + x 2 + 9 ) ( 4 + x )

Agora sim, podemos substituir o ponto na função:

lim x → 4 ⁡ ( 5 + x 2 + 9 ) ( 4 + x ) = 5 + 4 2 + 9 4 + 4 = 5 + 25 8 = 10 8 = 5 4

Resposta

lim x → 4 ⁡ 4 - x 5 - x 2 + 9 = 5 4

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