Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.5 - Ex. 6

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ .

D é uma região triangular com vértices (0,0), (2,1), (0,3); ρ x , y = x .

Passo 1

E aí, campeão dos cálculos! Preparado para mais um desafio matemático? Mãos à obra!

Primeiramente, vamos relembrar alguns conceitos importantes de massa e centro de massa.

Para determinar a massa e centro de massa de uma lâmina, utilizamos as seguintes fórmulas:

  1. Massa (m):

    2. m = ∫ ∫ D ρ x , y ⋅ d A

  2. Centro de massa ( x - ,   y - ) :

x - = M x m = 1 m ⋅ ∫ ∫ D x ⋅ ρ x , y ⋅ d A

y - = M y m = 1 m ⋅ ∫ ∫ D y ⋅ ρ x , y ⋅ d A

Onde:

  • M x é o momento em relação ao eixo y
  • M y é o momento em relação ao eixo x

Para resolver essa questão vamos calcular a massa da lâmina, determinar a coordenada x - e y - do centro de massa.

Passo 2

Agora, precisamos identificar os limites da região D . A região é um triângulo com vértices em ( 0,0 ) , ( 2,1 ) , ( 0,3 ) . Vamos determinar as equações das retas que delimitam essa região.

  • A reta que liga ( 0,0 ) a ( 0,3 ) é simplesmente x = 0 .
  • A reta que liga ( 0,0 ) a ( 2 , 1 ) pode ser encontrada determinando a equação da reta: y = 1 - 0 2 - 0 x = 1 2 x .
  • A reta que liga ( 0 , 3 ) a ( 2,1 ) pode ser encontrada determinando a equação da reta: y = 3 - 3 - 1 0 - 2 x = 3 - 2 - 2 x = 3 + x .

Os limites para y são de 0 a 1 , e para cada valor de y , x varia de y a 4 - 3 y . Ou seja:

0 ≤ y ≤ 1

y ≤ x ≤ 4 - 3 y

Passo 3

Vamos calcular a massa da lâmina. A função densidade é ρ x , y = x . Começamos pela integral dupla:

∫ ∫ D ρ x , y d A = ∫ 0 1 ∫ y 4 - 3 ⋅ y x d x d y

Quando temos uma integral dupla, sempre começamos a resolver de dentro para fora. Então, resolvendo primeiro a integral interna em relação a x :

∫ y 4 - 3 ⋅ y x d x

A integral de x em relação a x é:

1 2 x 2

Avaliando isso nos limites y a 4 - 3 y :

1 2 [ 4 - 3 y 2 - y 2 ]

Simplificando a expressão dentro dos colchetes:

4 - 3 y 2 - y 2 = 16 - 24 y + 9 y 2 - y 2 = 16 - 24 y + 8 y 2

Substituindo de volta na integral, temos: 1 2 ∫ 0 1 ( 16 - 24 y + 8 y 2 ) d y

Vamos distribuir o fator 1 2 para cada termo da integral:

= 1 2 ∫ 0 1 16   d y - ∫ 0 1 24 y   d y + ∫ 0 1 8 y 2 d y

Calculando as integrais individuais:

  • ∫ 0 1 16   d y = 16 y 0 1 = 16 ( 1 - 0 ) = 16
  • ∫ 0 1 24 y   d y = 24 y 2 2 0 1 = 24 1 2 - 0 = 12
  • ∫ 0 1 8 y 2 d y = 8 y 3 3 0 1 = 8 1 3 - 0 = 8 3

    • Agora, somando os resultados das integrais individuais:

    = 1 2 16 - 12 + 8 3 = 1 2 ⋅ 4 + 8 3

    = 1 2 ⋅ 20 3 = 10 3  

    Portanto, a integral dupla avaliada é:

    ∫ ∫ D ρ x , y d A = 10 3  

    Passo 3

    Agora vamos calcular a posição do x - do centro de massa:

    x - = 1 m ⋅ ∫ 0 1 ∫ y 4 - 3 ⋅ y x 2 d x d y

    Onde m é a massa da região dada anteriormente, que encontramos o valor 10 3 .

    A integral interna é:

    ∫ y 4 - 3 ⋅ y x 2 d x

    A integral de x 2 em relação a x é:

    1 3 x 3

    Avaliando isso nos limites y a 4 - 3 y :

    1 3 [ 4 - 3 y 3 - y 3 ]

    Simplificando a expressão dentro dos colchetes:

    4 - 3 y 3 - y 3 = 64 - 14 4 y + 108 y 2 - 27 y 3

    Substituindo de volta na integral, temos:

    1 3 m ∫ 0 1 64 - 144 y + 108 y 2 - 2 7 y 3 d y

    Vamos distribuir o fator 1 3 para cada termo da integral:

    = 1 3 m ∫ 0 1 64   d y - ∫ 0 1 14 4 y   d y + ∫ 0 1 10 8 y 2 d y - ∫ 0 1 2 7 y 3   d y

    Calculando as integrais individuais:

  • ∫ 0 1 64   d y = 64 y 0 1 = 64 ( 1 - 0 ) = 64
  • ∫ 0 1 14 4 y   d y = 14 4 y 2 2 0 1 = 144 1 2 - 0 = 7 2
  • ∫ 0 1 10 8 y 2 d y = 10 8 y 3 3 0 1 = 10 8 1 3 - 0 = 36
  • ∫ 0 1 2 7 y 3   d y = 2 7 y 4 4 0 1 = 2 7 1 4 - 0 = 27 4

Substituindo os valores das integrais individuais na integral inicial, teremos:

1 3 m ∫ 0 1 64   d y - ∫ 0 1 144 y   d y + ∫ 0 1 108 y 2 d y - ∫ 0 1 27 y 3   d y =

1 3 ⋅ 10 3 ⋅ 64 - 72 + 36 - 27 4 = 1 10 ⋅ - 8 + 36 - 27 4 =

1 10 ⋅ 417 12 =

Simplificando, ficaremos com:

417 120 = 139 40

Passo 4

Para o centro de massa de y , teremos o mesmo processo

y - = 1 m ∫ 0 1 ∫ y 4 - 3 ⋅ y y x   d x d y

Onde m é a massa da região dada anteriormente, que encontramos o valor 10 3 .

A integral interna é:

∫ y 4 - 3 ⋅ y y x   d x

A integral de x em relação a x é:

1 2 y x 2

Avaliando isso nos limites y a 4 - 3 y :

y [ 4 - 3 y 2 - y 2 ]

Simplificando a expressão dentro dos colchetes:

4 - 3 y 2 - y 2 = 16 - 2 4 y + 9 y 2 - y 2

Então:

y [ 4 - 3 y 2 - y 2 ] = 16 y - 24 y 2 + 8 y 3

Substituindo de volta na integral, temos:

1 2 m ∫ 0 1 16 y - 24 y 2 + 8 y 3 d y

Vamos distribuir o fator 1 2 para cada termo da integral:

1 2 m ∫ 0 1 16 y   d y - ∫ 0 1 24 y 2   d y + ∫ 0 1 8 y 3   d y

Resolvendo as integrais, teremos:

= 1 2 ⋅ 10 3 ⋅ 16 2 ⋅ y 2 0 1 - 24 3 ⋅ y 3 0 1 + 8 4 ⋅ y 4 0 1 =

= 3 20 ⋅ 8 - 8 + 2 = 3 20 ⋅ 2

= 3 20 ⋅ 6 3 =

Simplificando, ficaremos com:

6 20 = 3 10

Resposta

m = 10 3

x - = 139 40

y - = 3 10

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A figura mostra a superfície criada quando o cilindro y 2 + z 2 = 1 intercepta o cilindro x 2 + z 2 = 1 . Determine área dessa superfície
Determine o centro de massa da lâmina com formato de triângulo reto isósceles com lados iguais de tamanho a se a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da distância do ponto ao vérti
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ . D é delimitada pela parábola x = y 2 e pela reta y = x - 2 ; ρ x , y = 3 .
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ . D = x , y 0 ≤ y ≤ cos ⁡ x ,0 ≤ x ≤ π 2 ;ρ x , y = x .