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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.5 - Ex. 10

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ .

D = x , y 0 ≤ y ≤ cos ⁡ x ,   0 ≤ x ≤ π 2 ;   ρ x , y = x .

Passo 1

Olá, mestre dos números! Está pronto para mostrar todo o seu talento em cálculo? Vamos nessa!

Primeiramente, vamos relembrar alguns conceitos importantes de massa e centro de massa.

Para determinar a massa e centro de massa de uma lâmina, utilizamos as seguintes fórmulas:

  1. Massa (m):

    2. m = ∫ ∫ D ρ x , y ⋅ d A

  2. Centro de massa ( x - ,   y - ) :

x - = M x m = 1 m ⋅ ∫ ∫ D x ⋅ ρ x , y ⋅ d A

y - = M y m = 1 m ⋅ ∫ ∫ D y ⋅ ρ x , y ⋅ d A

Onde:

  • M x é o momento em relação ao eixo y
  • M y é o momento em relação ao eixo x

Para resolver essa questão vamos calcular a massa da lâmina, determinar a coordenada x - e y - do centro de massa.

Passo 2

Vamos começar calculando a massa da nossa lâmina. A função densidade é ρ x , y = x . Iremos fixar x e variar y . Temos os intervalos para x e y , que são:

0 ≤ y ≤ cos ⁡ x

0 ≤ x ≤ π 2

A massa m é dada pela integral dupla:

m = ∫ ∫ D ρ x , y ⋅ d A

= ∫ 0 π 2 ∫ 0 cos ⁡ x x ⋅ d y ⋅ d x

Quando temos uma integral dupla, começamos a resolver de dentro para fora. Primeiro, resolveremos a integral em relação a y , mantendo x constante.

∫ 0 cos ⁡ x x ⋅ d y = x ⋅ y 0 cos ⁡ x

= x ⋅ cos ⁡ x

Agora, substituindo na integral externa:

m = ∫ 0 π 2 x ⋅ cos ⁡ x ⋅ d x

Para resolver essa integral, usaremos a técnica de integração por partes. Lembrando a fórmula:

∫ u   d v =   u v   -   ∫ v   d u

Vamos definir:

Seja u = x , então d u = d x

Seja d v = c o s   x   d x , então v = s e n   x

Aplicando a fórmula:

∫ 0 π 2 cos ⁡ x ⋅ x ⋅ d x   = sen ⁡ x ⋅ x 0 π 2 - ∫ 0 π 2 sen ⁡ x ⋅ d x

Calculando cada parte:

sen ⁡ x ⋅ x 0 π 2 = ( sen ⁡ π 2 ��� π 2 ) - ( sen ⁡ 0 ⋅ 0 )

= π 2

E:

∫ 0 π 2 sen ⁡ x ⋅ d x = -   c o s   x 0 π 2

= - c o s   π 2 -   c o s   0 = 1

Portanto:

∫ 0 π 2 cos ⁡ x ⋅ x ⋅ d x   = π 2 - 1

Assim, a massa é:

m = π 2 - 1

Passo 3

Agora vamos calcular a posição do x do centro de massa. Usando a equação dada, temos que

x - = 1 m ⋅ ∫ 0 π 2 ∫ 0 cos ⁡ x x 2 ⋅ d y ⋅ d x

Resolvemos a integral interna primeiro. Como x 2 é constante em relação a y :

∫ 0 cos ⁡ x x 2 ⋅ d y = x 2 ⋅ y 0 cos ⁡ x = x 2 ⋅ cos ⁡ x

Substituindo na integral externa:

x - = 1 m ⋅ ∫ 0 π 2 x 2 ⋅ cos ⁡ x d x

Usando novamente a integração por partes. Definimos:

Seja u = x 2 , então d u = 2 x d x

Seja d v = c o s   x   d x , então v = s e n   x

Aplicando a fórmula:

∫ 0 π 2 x 2 ⋅ cos ⁡ x d x = x 2 ⋅ sen ⁡ x 0 π 2 - ∫ 0 π 2 2 ⋅ x ⋅ sen ⁡ x ⋅ d x

Calculando cada parte:

x 2 ⋅ sen ⁡ x 0 π 2 = π 2 2 - 0

= π 2 4

Para a segunda integral, usamos integração por partes novamente. Definimos:

Seja u = 2 x , então d u = 2 d x

Seja d v = s e n   x   d x , então v = - cos ⁡ x

Aplicando a fórmula:

∫ 0 π 2 2 x . sen ⁡ x d x = - 2 x cos ⁡ x 0 π 2 + ∫ 0 π 2 2 cos ⁡ x d x

Calculando cada parte:

- 2 x cos ⁡ x 0 π 2 = - 2 π 2 . cos ⁡ π 2 - 0 . cos ⁡ 0 = 0

E:

∫ 0 π 2 2 cos ⁡ x d x = 2 sen ⁡ x 0 π 2

= 2 π 2 . sen ⁡ π 2 - 0 . sen ⁡ 0 = 2

Portanto:

∫ 0 π 2 2 x . sen ⁡ x d x = 2

Agora, somando as partes:

∫ 0 π 2 x 2 ⋅ cos ⁡ x d x = π 2 4 - 2

Substituímos na fórmula de x - :

x - = 1 m ⋅ x 2 ⋅ sen ⁡ x 0 π 2 - π - 2

= 1 π 2 - 1 ⋅ π 2 4 - 2 = π 2 4 - 2 π 2 - 1

Simplificando:

x - = π 2 - 8 4 π - 2 2 = 2 . π 2 - 8 4 . π - 2

= π 2 - 8 2 π - 2

Passo 4

Para o centro de massa de y , teremos o mesmo processo:

y - = 1 m ⋅ ∫ 0 π 2 ∫ 0 cos ⁡ x y ⋅ x ⋅ d y ⋅ d x

Resolvendo a integral interna primeiro:

∫ 0 cos ⁡ x y . x . d y = ∫ 0 cos ⁡ x y   d y  

Substituindo os limites de integração:

= x ⋅ y 2 2 0 cos ⁡ x =   x   .     cos 2 ⁡ x 2 - 0 2

= x  .   cos 2 ⁡ x 2

Substituindo na integral externa:

y - = 1 m ⋅ ∫ 0 π 2 x  .   cos 2 ⁡ x 2 d x = 1 2 m ⋅ ∫ 0 π 2 x  .   cos 2 ⁡ x d x

Usando novamente integração por partes. Definimos:

Seja u = x , então d u = d x

Seja d v = cos 2 ⁡ x d x

Para encontrar v , usamos a identidade trigonométrica  cos 2 ⁡ x = 1 +  cos ⁡ 2 x 2 :

d v = cos 2 ⁡ x d x = 1 +  cos ⁡ 2 x 2 d x

Integrando d v :

v = 1 2 ∫ 0 π 2 1 +  cos ⁡ 2 x d x = 1 2 x +  sen ⁡ 2 x 2

= x 2 +  sen ⁡ 2 x 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:

∫ 0 π 2 x . cos 2 ⁡ x d x = x x 2 +  sen ⁡ 2 x 4 0 π 2 - ∫ 0 π 2 x 2 +  sen ⁡ 2 x 4 d x

Primeiro, vamos calcular a parte x x 2 +  sen ⁡ 2 x 4 0 π 2 :

x x 2 +  sen ⁡ 2 x 4 0 π 2 = π 2 π 2 +  sen ⁡ π 4 - 0 0 +  sen ⁡ 0 4

= π 2 π 2 = π 2 4

Agora, vamos calcular a integral ∫ 0 π 2 x 2 +  sen ⁡ 2 x 4 d x :

∫ 0 π 2 x 2 +  sen ⁡ 2 x 4 d x = ∫ 0 π 2 x 2 d x + ∫ 0 π 2  sen ⁡ 2 x 4 d x

Calculando cada parte separadamente:

Para a primeira parte:

∫ 0 π 2 x 2 d x = 1 2 ∫ 0 π 2 x d x

= 1 2 x 2 2 0 π 2 = 1 2 . π 2 2 2 = π 2 8

Para a segunda parte, usamos a substituição u = 2 x :

∫ 0 π 2  sen ⁡ 2 x 4 d x = 1 4 ∫ 0 π s e n   u d u 2

= 1 8 ∫ 0 π s e n   u d u = 1 8 - cos ⁡ u 0 π

Substituindo os limites de integração:

= 1 8 - c o s π + c o s 0 = 1 8 - - 1 + 1

= 1 8 . 2 = 1 4

Somando as duas partes:

∫ 0 π 2 x 2 +  sen ⁡ 2 x 4 d x = π 2 8 + 1 4

Agora, substituindo esses resultados de volta na integral original:

∫ 0 π 2 x . cos 2 ⁡ x d x = π 2 4 - π 2 8 + 1 4

= π 2 4 - π 2 8 - 1 4 = 2 π 2 8 - π 2 8 - 1 4

= π 2 8 - 1 4

Substituindo esse valor na fórmula para y -

y - = 1 2 ⋅ m ⋅ ∫ 0 π 2 x ⋅ cos 2 ⁡ x ⋅ d x = 1 2 ⋅ m ⋅ π 2 8 + 1 4

= 1 2 ⋅ π 2 - 1 ⋅ π 2 8 + 1 4 = 1 π - 2 π 2 - 2 8

= π 2 - 2 8 π - 2

Resposta

m = π 2 - 1

x - = π 2 - 8 2 π - 2

y - = π 2 - 2 8 π - 2

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Encontre a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e é dada pela função da densidade ρ . Dél i m i t a d ap o ry = 1 - x 2e y = 0 ; ρ x , y = k y é
Encontre a massa e o centro de massa da lamina que ocupa a região D e é dada pela função da densidade ρ . Déar e g i ã ot r i a n g u l a rl i m i t a d ap e l a sl i n h a sy = 0 ,y = 2 x ,ex + 2 y =
Encontre a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e é dada pela função da densidade ρ . Dél i m i t a d ap o ry = x + 2e y = x 2 ; ρ x , y = k x 2 é